Космологическое решение Фридмана. Где ошибка?

[sergey zhukov]

Утундрий
Ну почему же? Статья понятная. Содержит всего лишь пару ошибок. Я сам себя больше запутал этими $t$ и $ct$, в статье таких проблем нет, там вывод правильный.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1575177 писал(а):

Я тут тоже поплутал немного и в конце концов решил, что автор записал конечный ответ именно для скалярной кривизны, а не для масштабного фактора.

Чтобы их легче различать: скалярная кривизна $R$ имеет размерность $L^{-2}$, масштабный фактор $a$ имеет размерность $L$.

sergey zhukov в сообщении #1575177 писал(а):

Но осталось неясным, почему у меня не получается правильный ответ, если я беру $x^0=t$ и $g_{00}=-c^2$?

Сначала мы использовали координаты $x^0=ct,\;x^1,\;x^2,\;x^3$. Подставили в одно из уравнений Эйнштейна
$R_{00} - \frac{1}{2} R g_{00} + \Lambda g_{00} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{00}$
величины
$R = 6 \left(\dfrac{\ddot a}{a} + \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + \dfrac{k}{a^2}\right)$
$R_{00}=-3\dfrac{\ddot a}{a}$
$g_{00}=-1$
$T_{00}=c^2\rho$
и получили одно из уравнений Фридмана
$3 \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + 3\dfrac{k}{a^2} - \Lambda = \dfrac{8\pi G}{c^2}\rho$

Теперь переходим к координатам $\tilde x^0=t,\;\tilde x^1=x^1,\;\tilde x^2=x^2,\;\tilde x^3=x^3$. Скалярный инвариант $R$ не изменится, а для $R_{00},g_{00},T_{00}$ формулы преобразования компонент тензора дают:
$\tilde A_{00}=\dfrac{\partial x^i}{\partial \tilde x^0}\dfrac{\partial x^k}{\partial \tilde x^0} A_{ik}=\dfrac{\partial x^0}{\partial \tilde x^0}\dfrac{\partial x^0}{\partial \tilde x^0} A_{00}=c^2 A_{00}$
Впрочем, Вы можете честно вычислить величины в новых координатах.

Итак, ковариантные компоненты $R_{00},g_{00},T_{00}$ домножатся на $c^2$. Например, $\tilde g_{00}=c^2g_{00}=-c^2$. Таким образом, каждое слагаемое уравнения умножится на $c^2$ и получится равносильное уравнение.

sergey zhukov в сообщении #1575224 писал(а):

Похоже, мне нужно использовать $T^{00}=\rho$.

Правильно. Для контравариантных компонент то же преобразование координат даёт
$\tilde A^{00}=\dfrac{\partial \tilde x^0}{\partial x^i}\dfrac{\partial \tilde x^0}{\partial x^k} A^{ik}=\dfrac{\partial \tilde x^0}{\partial x^0}\dfrac{\partial \tilde x^0}{\partial x^0} A^{00}=c^{-2} A^{00}$
Только Вам это не нужно — можно пересчитать сразу ковариантную $T_{00}$.

[sergey zhukov]

svv
Да, я неправильно сказал. Автор записал уравнение Фридмана для радиуса кривизны пространства. $R$ - это радиус кривизны пространства. А скалярная кривизна $R$ - это для пространства-времени. Конечно, это совсем разные величины, одной буквой их глупо обозначать.

Масштабный фактор $a$ имеет размерность длины, конечно. На него нужно умножить безразмерное конформное расстояние $\chi$, чтобы получить расстояние в метрах:

$$dl^2=a^2d\chi^2$$

В этой статье мы имеем:

$$dl^2=R^2(\frac{dx^2}{1-x^2}+x^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2))$$

Здесь все координаты - безразмерные, а $R$ - радиус пространственной кривизны. Я так понял, что роль масштабного фактора здесь играет радиус кривизны. Например, тут прямо так и говорят и даже используют то же обозначение: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/3848/
Сказано, что масштабный фактор определен до постоянного множителя. Тогда между радиусом пространственной кривизны и масштабным фактором просто прямая зависимость. Скажем, если в настоящее время масштабный фактор $a$ определяется равным $a_0=1$, то между масштабным фактором и радиусом кривизны получается соотношение $R=aR_0$, где $R_0$ - безразмерный параметр, численно равный радиусу пространственной кривизны в настоящее время. Так?

Да, что-то мне и в голову не пришло, что нужно же просто пересчитать компоненты всех тензоров при смене координат. Это я еще не настолько освоил, если честно.

[svv]

Да, так.

[sergey zhukov]

svv
Я вроде бы понял, почему уравнение Фридмана записывают именно для масштабного фактора, а не для радиуса кривизны простраства. В частности потому, что через масштабный фактор можно без проблем описывать и плоское пространство, для которого радиус кривизны бесконечен.