Космологическое решение Фридмана. Где ошибка?

[sergey zhukov]

Попробовал повторить вывод космологических решений Фридмана, который приведен здесь https://habr.com/ru/post/507098/
Все в общем понятно, кроме одного. Если из этих решений формально попробовать получить критическую плотность, то получается:

$$3\frac{\dot{R}^2}{R^2}+3\frac{k}{R^2}-\lambda=\frac{8\pi G\rho}{c^2}$$

$$\rho_c=\frac{3H_0^2 c^2}{8\pi G}$$

$$H_0=\frac{\dot{R}}{R}$$

Тут лишний квадрат скорости света. Я подумал, это потому, что у автора временная координата выбрана так, что $c=1$, т.е. $g_{00}=-1$. Я попробовал повторить этот расчет для $g_{00}=-c^2$ и получил такой результат:

$$3\frac{\dot{R}^2}{R^2}+(3\frac{k}{R^2}-\lambda)c^2=\frac{8\pi G\rho}{c^2}$$

Все равно лишний $c^2$. Не могу понять, в чем дело. Какая-то глупая ошибка. Все вычисления, по моему, правильные. Может быть, нужно в случае $g_{00}=-c^2$ брать не $T_{00}=c^2\rho$, а $T_{00}=c^4\rho$?

Параметры $R, \lambda$ - безразмерные. А параметр $\frac{G\rho}{c^2}$ имеет размерность $\text{м}^{-2}$. Как это у автора стыкуется?

[artur_k]

sergey zhukov в сообщении #1566481 писал(а):

Параметры $R, \lambda$ - безразмерные.

Почему это? Вроде $R$ имеет размерность $[L]$, а $\lambda$ - $[L^{-2}]$.

[sergey zhukov]

artur_k
Да, верно. Размерность $R - [L]$, а размерность $\lambda - [L^{-2}]$.

Но все равно в этой статье, по моему, где-то ошибка. Явно должно получиться так (без $c^2$ справа):

$$3\frac{\dot{R}^2}{R^2}+(3\frac{k}{R^2}-\lambda)c^2=8\pi G\rho}$$

Здесь все правильно: все члены имеют размерность $c^{-2}$. Но гляда на расчет в этой статье, я не могу найти, что там неправильно.

[artur_k]

обратите внимание, что в статье метрика выписана как $d s^2 = -d t^2 + d l^2$. Т.е. $t$ - это не время с размерностью $[T]$, а времениподобная координата с размерностью $[L]$. И $\dot{R}$ тогда - безразмерная.

[sergey zhukov]

artur_k
Да, верно. Я не учел, что $t$ имеет размерность метров, раз метрика определена, как $ds^2=-dt^2+dl^2$. Тогда в статье действительно правильный ответ, а все члены имеют размерность $[m^{-2}]$.

Но вот я взял метрику в виде $ds^2=-c^2dt^2+dl^2$. Тогда $dt$ будет иметь размерность $[s]$, $\dot{R}$ будет иметь размерность $[\frac{m}{s}]$, а все члены в ответе должны будут иметь размерность $[s^{-2}]$. С левой частью так и получается, но правая часть почему-то у меня остается неизменной и по прежнему имеет размерность $[m^{-2}]$.

По моему, компоненты тензора энергии-импульса должны как-то зависеть от выбора $dt^2$ или $(cdt)^2$ в метрике. Только я не понимаю, как.

[artur_k]

$T^{00}=c^2\rho$ - плотность энергии, по определению тензора энергии-импульса. А у вас в уравнении используется $T_{00}$. Опустить индексы вы можете с помощью вашей метрики.

[sergey zhukov]

artur_k
Да, точно. Это я не учел. Правда, я так до конца и не разобрался.

Имеем:

$$T^{00}=\rho c^2$$

Формула для перехода от контр- к ковариантным компонентам:

$$T_{\mu\nu}=g_{\mu r}g_{\nu k}T^{rk}$$

В случае, когда отлична от нуля только $T^{00}$, формула упрощается:

$$T_{\mu\nu}=g_{\mu 0}g_{\nu 0}T^{00}$$

В случае, когда $g_{\mu\nu}$ диагонален, формула упрощается еще больше:

$$T_{00}=g_{00}g_{00}T^{00}$$

В нашем случае $g_{00}=-c^2$, поэтому $T_{00}=c^2c^2c^2\rho=c^6\rho$.

Что-то здесь не то. Теперь одна $c^2$ лишняя.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1566625 писал(а):

Но вот я взял метрику в виде $ds^2=-c^2dt^2+dl^2$.

И на этом вполне можно остановиться. Так как это метрика плоского п.-в.

[sergey zhukov]

Утундрий
О, привет! Давно не видел.

Все там в порядке с $dl^2$, это не плоское ПВ. Не могу понять, как правильно перейти от $T^{\mu\nu}$ к $T_{\mu\nu}$. Или, в этом простом случае, от $T^{00}$ к $T_{00}$. Формула опускания индексов вроде верная, но получается не совсем то, что нужно.

[svv]

sergey zhukov
Вот как всё стыкуется. Запись $ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ обычно не означает, что $g_{00}=-c^2$. Удобно в качестве $x^0$ принимать не $t$, а $ct$. Соответственно, метрический тензор $\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$, а не $\operatorname{diag}(-c^2,1,1,1)$.

Если Вы пролистаете первую половину ЛЛ2, Вы увидите, что (в результате такого подхода) у всех 4-векторов, от радиус-вектора до плотности тока, все компоненты имеют одну и ту же размерность. То же касается и тензоров. При этом ЛЛ явно оговаривают, что не полагают $c=1$.
Конечно, при использовании произвольных координат это свойство невозможно сохранить. Например, некоторые координаты могут быть угловыми, т.е. безразмерными. (В качестве координат можно использовать хоть температуру, влажность и давление, была бы гладкость и однозначность.) Но описанный подход делает жизнь немного легче.

Компонента ТЭИ $T^{00}$ имеет размерность и смысл плотности энергии. Поскольку $g_{00}=-1$, то $T_{00}$ тоже:
$T_{00}=(g_{00})^2 T^{00}=c^2\rho$
Это $c^2$ в числителе и $c^4$ в знаменателе дают $c^2$ в знаменателе.

В статье с Хабра точка над переменной означает производную по $ct$. Поэтому в формуле
$3 \dfrac{\dot{R}^2}{R^2} + 3\dfrac{k}{R^2} - \lambda = \dfrac{8\pi G}{c^2} \rho$
все слагаемые имеют размерность $L^{-2}$.

____________________

К статье есть претензии. Автор (BuddhaSugata) сильно использовал работу Friedmann Models за авторством Alexander Knebe, местами ухудшив её. Например, у Knebe явно сказано, что $x^\mu=(ct,x^i)$, у BuddhaSugata нет. Но самое ужасное, что BuddhaSugata смешал под одним обозначением $R$ две сильно различные величины:
— скалярную кривизну и
— космологический масштабный коэффициент ("размер Вселенной"), обычно обозначается $a$.
Это породило бессмыслицы вроде таких:
$ R = 6 \left( \dfrac{\ddot{R}}{R} + \dfrac{\dot{R}^2}{R^2} + \dfrac{k}{R^2} \right) $
При этом у Knebe эти величины различались шрифтом (хоть едва заметно).

Местами есть ошибки в формулах (хоть на окончательный результат они, похоже, не повлияли). Например:

Цитата:

I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:
$R_{i j k}^l = \dfrac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} {\color{magenta}+} \dfrac{\partial \Gamma^l_{\color{magenta}j k}}{\partial x^{\color{magenta}i}} + \sum\limits_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$

Ошибка в знаке и в индексах.

[Утундрий]

svv в сообщении #1575170 писал(а):

Конечно, при использовании произвольных координат это свойство невозможно сохранить. Например, некоторые координаты могут быть угловыми, т.е. безразмерными.

Лично мне кажется наиболее простым считать все координаты безразмерными по определению. Ковариантные компоненты метрики тогда имеют размерность площади и любой пересчёт удавов в попугаи сводится к простому масштабированию интервала.

[svv]

Утундрий
Понимаю.

[sergey zhukov]

svv
Спасибо. Что-то не подумал, что даже если $c=1$, то размерность $t$ от этого не станет метрами, а так и останется секундами. Конечно, чтобы размерность $x^0$ была метрами, координата $x^0$ должна быть $ct$, а не $t$ при $c=1$. Если в конечой формуле автора перейти к переменной $t$ вместо $ct$, то в первом слагаемом появится $\frac{1}{c^2}$ и все сходится.

С этим понятно. Но осталось неясным, почему у меня не получается правильный ответ, если я беру $x^0=t$ и $g_{00}=-c^2$? Если повторить расчет, то я получаю:

$$3(\frac{\dot R}{R})^2+(\frac{3k}{R^2}-\Lambda)c^2=\frac{8\pi G}{c^4}T_{00}$$

Если $T_{00}=(g_{00})^2T^{00}$, а $T^{00}=\rho c^2$, то получаем, что $T_{00}=\rho c^6$. Тут что-то не так. Или $T^{00}=\rho c^2$ только для $x^0=ct$? Тогда для $x^0=t$ он, возможно, равен просто $\rho$?

Насчет $R$ и $a$. Я тут тоже поплутал немного и в конце концов решил, что автор записал конечный ответ именно для скалярной кривизны, а не для масштабного фактора. Когда я повторял этот расчет, то у меня получилось так:

Пространственная метрика плоского трехмерного пространства в сферических координатах есть:

$$dl^2=dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$$

Домножим $dr^2$ на $(1-\frac{r^2}{R^2})^{-1}$ и получим пространственную метрику равномерно искривленного пространства с радиусом кривизны $R$:

$$dl^2=\frac{dr^2}{1-\frac{r^2}{R^2}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$$

Сделаем замену координат:

$$r=Rx, dr=Rdx$$

Тогда:

$$dl^2=R^2(\frac{dx^2}{1-x^2}+x^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2))$$

Далее наша цель - найти зависимость кривизны $R$ от времени $t$ (или $ct$), т.е. далее до самого конца $R$ - это скалярная кривизна, а масштабный фактор $a(t)=\frac{R(t)}{R_0}$ тут не появляется. Или не так?

Ошибки в статье есть. Знак я тоже заметил, т.к. из-за этой ошибки решение идет совсем не в том направлении. А вот индексы - не заметил. Из-за симметричности $\Gamma$ по нижним индексам эта ошибка действительно затухает.

[sergey zhukov]

Да, похоже нужно внимательнее смотреть на определение $x_0$. Например, в ЛЛ написано, что 4-скорость определяется так:

$$u^i=\frac{dx^i}{ds}$$

Поскольку $dx^i$ и $ds$ имеют размерность метров, то 4-скорость оказывается безразмерной (там это даже подчеркнуто специально), а ее квадрат $u^iu_i=1$.

В других местах встречается другое определение 4-скорости:

$$u^i=\frac{dx^i}{d\tau}$$

, где $\tau$ - собственное время. Т.к. $\tau$ имеет размерность секунд, то 4-скорость тут имеет размерность скорости, а ее квадрат $u^iu_i=c^2$.

Для пылевидной материи ТЭИ определяется, как:

$T^{ij}=\rho u^i u^j$

В нашем случае неподвижной пыли для первого определения $u^i$ имеем $T^{00}=\rho$, а для второго $T^{00}=\rho c^2$. Похоже, мне нужно использовать $T^{00}=\rho$.

[Утундрий]

Да, по поводу заглавного вопроса темы. Определяющая ошибка заключается в стремлении ТС испить из лужи, когда рядом имеется нормальный источник.