Во всех лекциях и статьях, я вижу как в основном рассматривают алгебры лишь с двумя операциями, будь то кольца, поля или тело.
Вообще, операцией арности

в учебниках алгебры обычно называют функцию

, где

- носитель. И алгебра, мол, изучает операции на множествах. По мне это излишне узкая трактовка. В целом, ничего не мешает считать операцией, например, умножение вектора на скаляр (вид операции будет

). По-другому на эту историю можно смотреть как на множество операторов вида

(например, оператор

- это оператор умножения на скаляр

). Т.е. каждый такой оператор представляет собой унарную операцию.
Точно так же почему бы не считать унарной (правда частичной) операцией взятие обратного элемента в поле. И в этом даже есть глубокая логика. Зафиксируем некоторый типа

алгебраических систем. Это значит, выберем градуированное (арностями) множество операторов

и множество тождеств

. Алгебра

типа

(или

-алгебра

) - это множество

, на котором задано действие

операторов из

, удовлетворяющее всем тождествам из

. Рассмотрим категорию

малых

-алгебр. Для каждой такой категории существует левый сопряженный функтор к забывающему функтору

. Учитывая, что категории групп, колец, абелевых групп и т.д. - частные случаи многообразий алгебр (многообразие алгебр - это и есть категория

), получаем, что для каждого множества существует порожденное им свободное кольцо, свободная группа и т.д. И отсюда же видно, почему не бывает свободных полей (поля не собираются в многообразие - операция то частичная).
Так что, хоть операция взятия обратного в поле и не считается операцией в общепринятом смысле, алгебраичности в ней не меньше, чем в обычных операциях (так что дело не в ней, а в самом определении операции).