Бесконечная серия успехов в бесконечной серии экспериментов

[EUgeneUS]

Проводим серию "экспериментов". "Эксперимент" может быть удачным или неудачным.
Вероятность успеха в эксперименте - $p_i$, вообще говоря, может зависеть от номера "эксперимента" $i$.

И зададимся вопросом: будет ли количество успехов бесконечным при бесконечном количестве "экспериментов"?

Видимо, вопрос нужно сформулировать более строго.
Пусть $P(n, i)$ - вероятность получить ровно $n$ успехов после проведения $i$-го эксперимента.
Если $\lim\limits_{i \to \infty}^{} P(n, i) = 0$ для $\forall n \geqslant 0$, то количество успехов будет расти неограничено с ростом $i$.

Тогда вопрос можно переформулировать так: каким условиям должны удовлетворять $p_i$, чтобы количество успехов неограниченно росло с ростом $i$?

У меня получился такой критерий:
а) Если ряд $\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i$ сходится, то вероятнсоть получить бесконечную серию успехов при бесконечном количестве экспериментов равна нулю.
б) Если ряд $\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i$ расходится, то серия успехов будет бесконечной при бесконечном количестве экспериментов.

Но доказать я его не могу

[Padawan]

Это же лемма Бореля-Кантелли

[EUgeneUS]

Padawan в сообщении #1574808 писал(а):

Это же лемма Бореля-Кантелли

Спасибо!
Может быть Вам известно о применении её к последовательностям простых чисел? В такох духе, как вот в этом моём посте.