Типа принцип максимума

[krum]

Функции $f,g$ голоморфны в ограниченной области $D$ и непрерывны в ее замыкании. Доказать, что

$$\max_{\overline D}(|f|+|g|)=\max_{\partial D}(|f|+|g|).$$

[Padawan]

Это следует из того, что $|f|+|g|$ -- субгармоническая функция. Для них справедлив принцип максимума.

[krum]

Ну вот, а у меня час ушел чтоб до этого догадаться. Задача из учебника Шабата по ТФКП. Сперва я думал, что это про комплексный нализ задача.

[krum]

И вообще, пусть $u$ -- гармонична в области $D$, а функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ -- выпукла вниз. Тогда $f\circ u$ -- субгармоническая в $D$.

[RIP]

Можно и через комплексный анализ:

$$\max_{\overline{D}}(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)=\lvert f(z_0)\rvert+\lvert g(z_0)\rvert=\mathrm{e}^{\alpha\mathrm{i}}f(z_0)+\mathrm{e}^{\beta\mathrm{i}}g(z_0)\leqslant\max_{\partial D}\left\lvert\mathrm{e}^{\alpha\mathrm{i}}f(z)+\mathrm{e}^{\beta\mathrm{i}}g(z)\right\rvert\leqslant\max_{\partial D}(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert).$$

[krum]

Действительно.

Что-то меня пробило на обобщения:)
Пусть $f:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ -- выпукла вниз. Функции $u_1,\ldots,u_p$ -- гармонические в области $D\subset\mathbb{R}^m$. Тогда $f(u_1(x),\ldots,u_p(x))$ -- субгармоническая в $D$.