Сходимость ряда

[gris]

F111mon, как мне кажется, не это имел в виду. Его беспокоит то, что ряд действительно сходится в бесконечном числе случаев начального члена (именно по РПК), да и последовательность через раз возрастает, а не убывает, хотя на это уже обратили внимание и сказали, что легко уладить. Но так и забыли. Я предлагаю определить $a_0 \in (0,3)$ и тогда ладно.

[zykov]

ewert в сообщении #1574145 писал(а):

zykov в сообщении #1574120

писал(а):
При $a_0 > 0$ последовательность будет убывать, т.к. $\sin x < x$ при $x>0$.
Это неверно (хотя и легко исправляется).

Да, верно.
$a_0$ не важен, он может запульнуть $a_1$ в любое место $[-1,1]$.
Тут важен $a_1$. Если он равен $0$, то и все дальнейшие члены ряда равны нулю, и сумма сходится.
Если $a_1>0$, то ряд убывает, сходится к нулю, сумма расходится.
Если $a_1<0$, то тут симметрично с инверсией знака.

[Maxim19]

Так всё же как решать такие задачи? Может методичка есть?

-- 17.12.2022, 22:36 --

мат-ламер
Откуда такая оценка снизу? Можно поподробнее?

[zykov]

Maxim19 в сообщении #1574223 писал(а):

Может методичка есть?

Решать можно по разному.
Насчет методички, то это у своего преподавателя надо спрашивать, который задал это. Ему виднее, какими путями вас учат в рамках этого курса.

[Maxim19]

Жаль, преподавателя то и нет. А нет десятка страниц "инструкций", чтобы было легче ориентироваться в таких задачах?

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1574223 писал(а):

мат-ламер
Откуда такая оценка снизу? Можно поподробнее?

Есть такое неравенство $\sin x > x - x^3\slash 6$ для $x>0$ , если вы это имели в виду. Вы как-то интересовались сложными задачами по анализу. Попробуйте сами доказать это неравенство. Наверное можно воспользоваться рядом Тейлора для синуса, группируя члены по два (для наших целей достаточно ограничиться случаем $0<x<1$). Наверное можно взять за основу доказательство формулы Тейлора и показать положительность остаточного члена для нашего случая. Наверное это неравенство есть кое в каких учебниках и задачниках. Дерзайте. Если не получится, пишите, поможем.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1574257 писал(а):

Наверное это неравенство есть кое в каких учебниках и задачниках.

Можно начать с школьных учебников. Например, взять школьный учебник Пратусевича и др. за 11-й класс, параграф 63.2, "Доказательство неравенств с помощью производной". Доказываемое неравенство с помощью операции дифференцирования (а в обратную сторону интегрирования) связано с неравенством $\cos x > 1 - x^2\slash 2$ , которое в свою очередь таким же образом связано с неравенством $-\sin x > -x$ . Подробности в учебнике.

-- Вс дек 18, 2022 18:59:11 --

Maxim19 в сообщении #1574116 писал(а):

Может кто-нибудь поможет и даст ссылку на "приёмчики" для решения таких задач?

Maxim19 в сообщении #1574223 писал(а):

Так всё же как решать такие задачи? Может методичка есть?

А какие именно "такие" задачи? Можно поконкретнее?

[Maxim19]

Задачи на сходимость рядов или нахождения предела, но чтоб были нестандартные.

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1574365 писал(а):

Задачи на сходимость рядов или нахождения предела, но чтоб были нестандартные.

Никогда не увлекался нестандартными задачами и не специалист в таких задачах (хотя, что тут есть стандарт, непонятно). Для начала парочку советов от чайника. Когда я учился, то мне хватило учебника. (Что-то разбирали на семинарах, но что, я забыл прочно). По этим темам я читал "Курс диф. и инт. исчисления " Фихтенгольца. Конкретно, ряды с постоянными членами - том 2, глава XI. Для начала задача не в том, чтобы набить руку на решении стандартных примеров, а в том, чтобы проникнуться основными идеями. А если если проникнешься, то это поможет решать задачи, которые на данном этапе воспринимаются, как нестандартные. Например, задача из этого поста в некотором роде нестандартная, поскольку общий член в ней записывается не как функция от номера члена, а как функция от предыдущего члена. Владение идеями в данном случае поможет понять, что в данном случае ряд скорее всего не сходится (и копать нужно в эту сторону). Что простейшие признаки (Даламбера, Коши) не подходят (хотя тут высказывалось и альтернативное мнение). Что, если сравнивать с известным рядом, то для начала попробовать сравнить с гармоническим рядом (хотя в теме обсуждались и другие методы). Вот парочка примеров из Фихтенгольца, причём из самого начала главы, ещё до сложных признаков не добрались. Первый ряд: $\sum \left( \ln{\ln{n} } \right)^{-\ln{n} }$ . Второй ряд: $\sum \left( \ln{n } \right)^{-\ln{\ln{n}} }$ (суммирование начинается с $n=3$) . Вот пример, подсмотренный вчера на соседнем форуме: $\sum \left( \frac{ \pi }{ 2 } - \arcsin{\frac{ n }{ n+1 } } \right)$ . Попробуйте для этих рядов дать либо какую-то оценку общего члена, либо его асимптотику, так, чтобы сравнить с каким-нибудь известным рядом.

[мат-ламер]

После овладения материалом учебника можно и задачник открыть. Например, интересный задачник Макаров, Голузина, Лодкин, Подковыров "Избранные задачи по вещественному анализу". Задача 1.1 из главы IV оттуда.

"Сходится ли ряд $\sum \varepsilon_n \slash n$ , где $\varepsilon_n = 0 $ , если в десятичной записи числа $n$ имеется цифра $9$ , и $\varepsilon_n = 1 $ в противном случае".

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1574365 писал(а):

Задачи на ... нахождения предела, но чтоб были нестандартные.

Для разминки немного задач из школьного учебника Пратусевича за 10-й класс. Заранее извиняюсь за тривиальность задач.

VII.22. Можно ли расположить рациональные числа отрезка $[0,1]$ в сходящуюся последовательность?

VII.23. Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$ . Доказать, что $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+...+a_n}{n}=a$ .

VII.65. Докажите, что не существует предела у последовательности $a_n=\sin n$ .
При каких $a$ существует предел последовательности $b_n=\sin an$ ?

VII.66. Найдите $\lim\limits_{n \to \infty}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})$ .

VII.67. Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a>0$ . Докажите, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=1$ .
(Правила Лопиталя вроде в том учебнике нет).
Приведите пример сходящейся неотрицательной последовательности $\{a_n\}$ , для которой последовательность $\sqrt[n]{a_n}$ расходится.
Приведите пример сходящейся неотрицательной последовательности $\{a_n\}$ , для которой последовательность $\sqrt[n]{a_n}$ имеет предел $0<a<1$ .
Пусть последовательность $\{a_n\}$ ограничена. Может ли последовательность $\sqrt[n]{a_n}$ иметь предел больший, чем $1$ ?

[Maxim19]

Спасибо за совет

[krum]

(Оффтоп)

Не поставить ли вопрос обЧее (тут как раз в другой ветке тоже было http://dxdy.ru/post1574165.html#p1574165). С какой скоростью убывает последовательность

$$x_{n+1}=f(x_n),\quad f(x)=x-\psi(x),\quad C_1x^s< \psi(x)< C_2 x^s,\quad s\in\{2,3,\ldots\}$$

$x_0>0$ -- достаточно мало