Равномерная непрерывность. Теорема Кантора

[Stensen]

Всем доброго здравия. Уважаемые, помогите исследовать на равномерную непрерывность функцию $f(x)=x \cdot \arccos(\frac{4}{x^2})$ на $(2,+ \infty) $.

1. т.к. $\lim\limits_{x \to 2+} f(x) = 0$ , то для $\forall \,\, 2<b < + \infty $ по Теореме Кантора $f(x)$ будучи непрерывной на $[2,b]$, является равномерно-непрерывной на этом отрезке.

2. т.к. $f(x) = x \cdot \arccos(\frac{4}{x^2}) \sim x $ при $x \to +\infty$, а $g(x)=x$ равномерно-непрерывна на $([b,+\infty)] $, (нетрудно доказать по определению), то на $([2,+\infty)]\,\,\,\,f(x)$ равномерно-непрерывна.

Все ли верно?

Возник вопрос. Согласно достаточному условию равномерной непрерывности, на этом промежутке функция должна иметь ограниченную производную, но $f'(2) = \arccos(\frac{4}{x^2})+\frac{8}{\sqrt{x^4- 16}} \to + \infty$.

Как с этим жить?

[Null]

Stensen в сообщении #1573913 писал(а):

Все ли верно?

В пункте 2 вывод не верен, из эквивалентности не следует равномерная непрерывность.

Stensen в сообщении #1573913 писал(а):

Как с этим жить?

Если из $A$ следует $B$, и $A$ не верно, от сюда не следует что $B$ не верно.

[Stensen]

Null в сообщении #1573915 писал(а):

Stensen в сообщении #1573913 писал(а):

] Если из $A$ следует $B$, и $A$ не верно, от сюда не следует что $B$ не верно.

Если правильно понял, то достаточное условие не отвергает наличие равномерной непрерывности при неограниченной производной, верно?

[Null]

Да.

[mihaild]

Более простой пример: является ли $\sqrt x$ равномерно непрерывной на $[0, 1]$? А производная у неё там ограничена?

[Stensen]

mihaild в сообщении #1573920 писал(а):

Более простой пример: является ли $\sqrt x$ равномерно непрерывной на $[0, 1]$? А производная у неё там ограничена?

Равномерно непрерывна и производная неограничена. Теперь понятно, что это только достаточное условие

-- 15.12.2022, 14:58 --

Null в сообщении #1573915 писал(а):

В пункте 2 вывод не верен, из эквивалентности не следует равномерная непрерывность.

Можно ли "прижать" $ \left\lvert f(x) \right\rvert= \left\lvert x \cdot \arccos(\frac{4}{x^2})\right\rvert \leqslant \frac{\pi}{2}\left\lvert x \right\rvert$ , при $x \to +\infty$ и проверять $g(x)=x$ ? Следует ли из равномерной непрерывности $g(x)=x$ равномерная непрерывность $f(x)$ на $([b,+\infty)] $ ?

[mihaild]

Нет, так не получится. Функция может очень быстро осциллировать на бесконечности, например $f(x) = \sin(x^2)$.

[Stensen]

mihaild в сообщении #1573945 писал(а):

Нет, так не получится. Функция может очень быстро осциллировать на бесконечности, например $f(x) = \sin(x^2)$.

Тогда по достаточному признаку, производная ограничена на полуинтервале следовательно равномерно непрерывна, так?

[mihaild]

Stensen в сообщении #1573946 писал(а):

Тогда по достаточному признаку, производная ограничена на полуинтервале следовательно равномерно непрерывна, так?

Попробуйте четко сформулировать рассуждение, явно приводя формулировки теорем, на которые ссылаетесь. Проверять правильность рассуждения - тоже очень важный навык.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1573946 писал(а):

производная ограничена на полуинтервале

Это смотря на каком полуинтервале. В условии полуинтервал у вас начинается ведь от двойки.

[Stensen]

Достаточный признак равномерной непрерывности: если функция имеет на промежутке X ограниченную производную, то она равномерно непрерывна на X, где X начинается от точки $b>2$.

[mihaild]

Нет, ограничения "$X$ начинается от точки $b > 2$" нет в формулировке признака нет. Без этого формулировка правильная: если функция имеет на промежутке ограниченную производную, то функция равномерно непрерывна на этом промежутке.
Подставляя в этот признак нашу функцию и промежуток $[2, +\infty)$, мы получаем, что наша функция равномерно непрерывна на этом промежутке.

[мат-ламер]

Вот такую лемму придумал, может она поможет топик-стартеру.

Если функция равномерно непрерывна на $[a,b]$ и на $[b,+\infty)$ , то функция равномерно непрерывна на $[a,+\infty)$ .

-- Чт дек 15, 2022 19:12:30 --

mihaild в сообщении #1573952 писал(а):

Подставляя в этот признак нашу функцию и промежуток $[2, +\infty)$,

А наша функция не имеет ограниченной производной.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1573962 писал(а):

А наша функция не имеет ограниченной производной

Ой, да. Промежуток $[3; +\infty)$.

[Stensen]

Спасибо всем, вроде понятно