Аналитичность гармонической функции

[krum]

Мне всегда было непонятно, почему на доказательство этого факта тратится столько энергии (оценки производных всех порядков) в то время как он сразу следует из формулы

$$u(x)=\int_{\partial U}\Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial n}(y)-u(y)\frac{\partial \Phi}{\partial n}(y-x)dS_y.$$

где $\Phi$ -- фунд. решение оператора Лапласа; $U$ -- огран. область.
Берем теперь в этой формуле $x=x_1+\varepsilon ix_2$ и получаем аналитическое продолжение в комплексную окрестность любого шара, компактно принадлежащего области $U$. В чем проблема?

[Padawan]

Я бы записал формулу Пуассона (интеграл по сфере с центром в точке $x_0$), разложил бы подынтегральную функцию в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по степеням $x^k-x^k_0$ и почленно проинтегрировал.

Приём подставить вместо $x$ комплексную переменную тоже видел. Так, например, можно получить из формулы Пуассона формулу Шварца (восстановление аналитической функции по действительной части).
Есть формула $f(z) =2u(\frac {z+z_0}{2}, \frac{z-z_0}{2i}) -u(x_0, y_0) +C$ для восстановления аналитической функции по её действительной части $u(x, y)$. Так просто в формулу Пуассона (с центром в точке $(x_0,y_0)=(0,0)$) вместо $r\cos\varphi=x$ ставишь $z/2$, а вместо $r\sin\varphi=y$ ставишь $z/2i$.

[krum]

Да, спасибо.