Линейные неевклидовы пространства

[artempalkin]

Известно, что в любом конечномерном ЛП можно ввести скалярное произведение, доказывается тривиально.

А как насчет бесконечномерного? Если опираться на базис Гамеля, то можно построить, как в $l_2$, условно говоря, и проблем не будет. Но нет ли какого-то конструктивного способа?

К примеру, возьмем $l_1$. Т.к. любой элемент его, очевидно, принадлежит и $l_2$, то можно ввести и СП, как в $l_2$.

А как насчет $l_3$? Уже не совсем понятно.

И в целом в любом ли бесконечномерном ЛП можно ввести СП?

[krum]

топология банахова пространства не всегда может быть задана с помощью скалярного произведения, если вы об этом

-- 11.12.2022, 21:02 --

artempalkin в сообщении #1573471 писал(а):

И в целом в любом ли бесконечномерном ЛП можно ввести СП?

artempalkin в сообщении #1573471 писал(а):

Если опираться на базис Гамеля, то можно построить, как в $l_2$, условно говоря, и проблем не будет.

-- 11.12.2022, 21:33 --

Например, в $\ell_3$ нельзя ввести скалярное произведение, которое задавало бы там стандартную топологию. Поскольку вещественное гильбертово пространство изоморфно своему сопряженному, а $\ell_3$ не изоморфно $\ell_{3/2}$. Т.к. любое непрерывное отображение $\ell_3$ в $\ell_{3/2}$ компактно.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1573471 писал(а):

Если опираться на базис Гамеля, то можно построить, как в $l_2$

В $l_2$ (а равно в любом другом гильбертовом пространстве) не существует ортонормированного базиса Гамеля.

Вопрос, видимо, надо ставить так: можно ли без аксиомы выбора доказать, что на любом бесконечномерном пространстве существует положительно определенная симметричная билинейная форма. Ответ - нет, даже зависимого выбора недостаточно, на math.se есть доказательство https://math.stackexchange.com/a/1018905/659499, но оно не слишком тривиально.

[artempalkin]

krum в сообщении #1573473 писал(а):

Например, в $\ell_3$ нельзя ввести скалярное произведение, которое задавало бы там стандартную топологию. Поскольку вещественное гильбертово пространство изоморфно своему сопряженному, а $\ell_3$ не изоморфно $\ell_{3/2}$. Т.к. любое непрерывное отображение $\ell_3$ в $\ell_{3/2}$ компактно.

Нет, вопрос в том, можно ли ввести скалярное произведение как таковое, не связанное с исходной топологией. Критерий гильбертовости банахова пространства я знаю - выполнение тождества параллелограмма для нормы

mihaild в сообщении #1573477 писал(а):

В $l_2$ (а равно в любом другом гильбертовом пространстве) не существует ортонормированного базиса Гамеля.

Я имею в виду, задать СП как сумму произведений соответствующих координат в базисе Гамеля. Все, вроде, будет хорошо.

mihaild в сообщении #1573477 писал(а):

можно ли без аксиомы выбора доказать, что на любом бесконечномерном пространстве существует положительно определенная симметричная билинейная форма.

Да, можно так сформулировать.

А на каких, например, нельзя заведомо? как я написал, на $l_1$ можно.

[krum]

artempalkin в сообщении #1573481 писал(а):

Критерий гильбертовости банахова пространства я знаю - выполнение тождества параллелограмма для нормы

по-вашему получается, что $\mathbb{R}^m$ не гильбертово раз для его нормы $\|\cdot\|_\infty$ не выполнено тождество параллелограмма:)

[artempalkin]

krum в сообщении #1573482 писал(а):

это неверно

Ого, ну просветите, пожалуйста

[krum]

просветил. см. выше

[artempalkin]

krum в сообщении #1573482 писал(а):

по-вашему получается, что $\mathbb{R}^m$ не гильбертово

Оно не гильбертово по другой причине. Но я вас понял. Думаю, и вы меня поняли

[krum]

artempalkin в сообщении #1573485 писал(а):

Оно не гильбертово по другой причине.

о, теперь я заинтригован

[artempalkin]

krum в сообщении #1573487 писал(а):

о, теперь я заинтригован

Ну, тут как бы по-разному бывает, но часто гильбертово пространство определяется как строго бесконечномерное. Я отталкиваюсь всегда от этого определения.

Мне вот интересно, а вот этот неочевидный факт

krum в сообщении #1573473 писал(а):

Т.к. любое непрерывное отображение $\ell_3$ в $\ell_{3/2}$ компактно

откуда следует так сразу? если б $l_{3/2}$ было конечномерно, тогда понятно

[krum]

artempalkin в сообщении #1573488 писал(а):

откуда следует так сразу?

совсем не сразу. Classical Banach Spaces vol.1 by Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri

[artempalkin]

krum в сообщении #1573489 писал(а):

совсем не сразу. Classical Banach Spaces vol.1 by Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri

может, подскажете хотя бы общую идею? это во всех случаях ограниченных операторов из $l_p$ в $l_q$ для $q<p$? или какой там общий результат?

[krum]

https://files.catbox.moe/60i0ft.djvu

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1573481 писал(а):

Я имею в виду, задать СП как сумму произведений соответствующих координат в базисе Гамеля.

Это будет скалярным произведением, просто не надо его называть "как в $l_2$".

artempalkin в сообщении #1573481 писал(а):

А на каких, например, нельзя заведомо?

На пространстве непрерывных на $\mathbb R$ функций, например, см. ссылку.

krum в сообщении #1573482 писал(а):

по-вашему получается, что $\mathbb{R}^m$ не гильбертово раз для его нормы $\|\cdot\|_\infty$ не выполнено тождество параллелограмма

Пространство $(\mathbb R^m, \|\cdot \|_\infty)$ таки правда не гильбертово (даже если не требовать в определении гильбертова пространства бесконечномерность).

[krum]

mihaild в сообщении #1573492 писал(а):

Пространство $(\mathbb R^m, \|\cdot \|_\infty)$ таки правда не гильбертово

Слушайте, ну вы контекст всеже смотрите. Я, ведь, сразу объяснил, что обсуждаю возможность задать топологию банахова пространства скалярным произведением. Топологию, а не конкретную норму, которой она реализована:

krum в сообщении #1573473 писал(а):

топология банахова пространства не всегда может быть задана с помощью скалярного произведения, если вы об этом

Поэтому, в частности вот это замечание

krum в сообщении #1573473 писал(а):

Например, в $\ell_3$ нельзя ввести скалярное произведение, которое задавало бы там стандартную топологию.

не вытекает из тождества параллелограмма.