Классификатор подобъектов

[EminentVictorians]

Дана категория $C$ с терминальным объектом $1$. Классификатором подобъектов в категории $C$ называется такой мономорфизм $t:1 \to \Omega$, что каждый мономорфизм $m$ из $C$ единственным способом включается в коуниверсальный квадрат для $t$. Иначе говоря, для каждого $m$ существует единственный коуниверсальный квадрат

$$\xymatrix{\Omega & 1 \ar[l]_{t} \\\ X \ar[u]^{\psi} & S \ar[l]^{m} \ar[u]_{k} \\ }$$

где $k$ - единственное отображение в терминальный объект $1$, $\psi$ соответствует характеристической функции данного подобъекта $S$, а универсальный мономорфизм $t: 1 \to \Omega$ играет роль истины.

Это - определение классификатора подобъектов в категории $C$.

Ситуация довольно странная. С одной стороны, я понимаю, что эта конструкция является очень важной для теории категорий, хотя бы потому что используется при определении декартово замкнутых категорий. С другой стороны, я совершенно не могу понять, в чем тут прикол.

Я хочу понять, в чем неформальный смысл этой штуки. Я так понял, что мотивация этой конструкции первоначально исходила из подмножеств и характеристических функций. Этот частный случай я может быть даже и понял. Проблема в том, что он не дает мне никакого понимания общего случая.

(Оффтоп)

(Это у меня совершенно стандартная ситуация: сначала трачу $10x$ времени на разбор частных случаев, осознаю примерно процентов 15-20, потом оказывается, что есть общая конструкция, которую можно освоить за $1x$ времени и еще $0.5x$ после этого уходит на 100%-ое понимание частных случаев)

Таким образом, я хотел бы начать с рассмотрения общего случая.

1)По всей видимости, $S$ здесь является декартовым произведением $1$ и $X$?

2)В чем вообще смысл брать декартово произведение $1$ и $X$? $1$ - это терминальный объект, т.е. фиксированная вещь. А $X$ - вообще не зафиксирован никак - это просто кодомен произвольного мономорфизма $m$.
(здесь, насколько я понял, $1$ фиксирован железобетонно, но в целом, все терминальные объекты изоморфны, поэтому может быть его можно фиксировать не так жестко; но это так, мысли в слух)

3)Что такое $\psi$? Если были бы подмножества, то это была бы характеристическая функция. А в общем случае?

Я подозреваю, что все мои вопросы отпадут, если я узнаю неформальную интерпретацию всей этой истории.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1573320 писал(а):

1)По всей видимости, $S$ здесь является декартовым произведением $1$ и $X$?

Вопрос касается больше терминологии. Так то я понимаю, что здесь просто предел функтора, который отображает $3$ сущности в $X, \Omega$ и $1$. Поэтому может быть было бы логичнее говорить здесь о произведении всех этих трех объектов. Но так тоже плохо: под произведениями понимают ситуацию, когда домен функтора (т.е. категория индексов $J$) - дискретная категория, а тут не так. В общем, не знаю, как назвать этот $S$ (почему-то по началу казалось, что такой объект называют декартовым произведением $1$ и $X$, но сейчас уже не уверен).

EminentVictorians в сообщении #1573320 писал(а):

3)Что такое $\psi$? Если были бы подмножества, то это была бы характеристическая функция. А в общем случае?

Этот вопрос снят. Не важно, что такое $\psi$. Важно, чтобы стрелка $m:S \to X$ единственным образом достраивалась до этого коуниверсального квадрата. А чем окажется при этом $\psi$ - не важно. (Т.е. можно даже так сказать: $\psi$ - это та единственная стрелка из $X$ в $\Omega$, которая получится при дополнении мономорфизма $m:S \to X$ до коуниверсального квадрата; ее можно считать функцией от $m$).

По итогу основной вопрос, который остается - неформальная интерпретация. Формальное определение понятно; хотелось бы разобраться со смыслом всей этой конструкции.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1573320 писал(а):

хотя бы потому что используется при определении декартово замкнутых категорий.

Здесь опечатка: не декартово замкнутой категории, а элементарного топоса.

[krum]

Хороший бложик. Только приложений не хватает к чему-нибудь такому, чем занимаются не столь знаменитые викторианцы. К функану там или к дифурам или геометрии, или анализу. Ну, конечно, не таких приложений, которые без ваших функторов все знают:)

[Slav-27]

В любой категории можно определить подобъект объекта $x$ как класс эквивалентности мономорфизмов в $x$: пусть $f:a\to x$ и $g:b\to x$ мономорфизмы, будем говорить, что $f\leq g$, если есть мономорфизм $h:a\to b$ такой что $gh=f$, и будем говорить, что $f$ и $g$ эквивалентны, если $f\leq g$ и $g\leq f$. Подумайте про подмножества, подгруппы, подпучки... Это какое-то сложное определение; но если есть классификатор подобъектов $1\to\Omega$ (и конечные пределы), то подобъекты $x$ взаимно-однозначно соответствуют морфизмам $x\to \Omega$.

То есть классификатор подобъектов представляет функтор, сопоставляющий $x$ совокупность подобъектов $x$.

[EminentVictorians]

Блин, так все красиво получается
Slav-27, большое спасибо Вам за помощь! Больше по этой теме вопросов у меня нету.