предел

[krum]

Возьмем функцию $g\in L^p(\mathbb{R}^3) \cap L^1(\mathbb{R}^3)$ и числа

$$\alpha\in(0,3),\quad p>\frac{3}{3-\alpha}.$$

Доказать, что

$$\lim_{|x|\to\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{g(y)dy}{|x-y|^\alpha}=0.$$

[Sln]

Тут интеграл на два стоит разбить и неравенство Гёльдера поможет.
Обозначим через $q$ сопряженное к $p$ число, т. е. $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда $q<\frac{3}{\alpha}$, то есть интеграл $\int_{|x|<1}\frac{1}{|x|^{q\alpha}}dx$ сходится (пусть он равен $A$.
Если $D(x)$ - какой-нибудь шар с центром в $x$ радиусом $R(x) < \frac{1}{2}|x|$, а через $B(R)$ - шар с центром в нуле радиусом $R$, то, воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим:

$$|\int_{R^3}\frac{g(y)}{|x-y|^\alpha}dy| = \int_{R^3\setminus D(x)}\frac{|g(y)|}{|x-y|^\alpha}dy + \int_{D(x)}\frac{|g(y)|}{|x-y|^\alpha}dy \le$$ $$\le\frac{1}{R^\alpha(x)}\int_{R^3\setminus D(x)}|g(y)|dy + \int_{D(x)}|g(y)|^pdy\cdot\int_{D(x)}\frac{1}{|x-y|^{q\cdot\alpha}} dy\le$$

$$\le\frac{1}{R^\alpha(x)}\int_{R^3}|g(y)|dy + \int_{B(|x|-R)}|g(y)|^pdy\cdot\int_{B(R(y))}\frac{1}{|y|^{q\cdot\alpha}} dy\le$$

$$\le\frac{||g||_1 }{R^\alpha(x)}+ \int_{B(|x|/2)}}|g(y)|^pdy\cdot A\cdot R(x)^{3-q\cdot\alpha}$$

Теперь, поскольку $\lim_{x\to\infty}\int_{B(|x|/2)}}|g(y)|^pdy = 0$, то подбирая $R(x)$ так, чтобы при $x\to\infty$ было $R(x)\to\infty$ и $\int_{B(|x|/2)}}|g(y)|^pdy \cdot R(x)^{3-q\alpha}\to0$, получим требуемое.