Комплексные координаты точки

[iskander9908]

Дан треуголульник вписанный в единичную окружность $ABC$ с комплексными координатами вершин $A(a^2), B(b^2), C(c^2), O(0)$, где O - центр описанной окружность, Найти координату пересения биссектрисы угла A c описанной окружнностью.

Я взял D как точку пересечения биссектрисы с окржностью. Тогда $BD = CD$ или $(b-d)\overline{(b-d)} = (c-d) \overline{(c -d)}$, что даёт $d^2 = bc$. Так как для отрезка BC существуют две таких точки, чтобы соответсвующие стороны были равны, то нужно дополнительно условие при котором точка D, будет находиться на дуге BC не содержащию точку A. Правда какое я не знаю. $BC$.

[Утундрий]

iskander9908 в сообщении #1572471 писал(а):

Тогда $BD = CD$ или $(b-d)\overline{(b-d)} = (c-d) \overline{(c -d)}$, что даёт $d^2 = bc$.

Не очень понятно, как это получено, но - допустим. Тем не менее, из этого куска следует, что координаты вершин треугольника есть просто $a, b, c$. Но тогда почему здесь стоят квадраты?

iskander9908 в сообщении #1572471 писал(а):

треуголульник вписанный в единичную окружность $ABC$ с комплексными координатами вершин $A(a^2), B(b^2), C(c^2), O(0)$

А если по сути, то искомый ответ ниоткуда просто так не свалится. Придётся или задать некоторый порядок на $a, b, c$, либо руками отбирать решение с наибольшим $AD$.

[svv]

Правильное решение из двух — не всегда то, в котором $AD$ получается большим.
Пример: координата $A$ равна $1$, точки $B$ и $C$ в первом квадранте (тогда и $D$ тоже).

[Утундрий]

Тогда только упорядочивать.

[iskander9908]

Извините, я вчера сонный был, поэтому неправильно посчитал $d^2$.

$BD = (b^2-d)(\overline{b^2-d})$,
$CD = (c^2 -d)(\overline{c^2-d})$,
так как точка $D$ делит дугу $BC$, то $BD = CD$.
$b^2\bar{b^2}-b^2\bar{d}-\bar{b^2}d+d\bar{d}=c^2\bar{c^2}-c^2\bar{d}-\bar{c^2}d+d\bar{d}$
согласно уравнению окружности $b^2 = \frac{1}{b^2}$, $c^2 = \frac{1}{c^2}$, $d = \frac{1}{d}$
$\frac{b^2}{d}+\frac{d}{b^2} = \frac{c^2}{d}+\frac{d}{c^2}$
или
$c^2(b^4+d^2) = b^2(c^4+d^2)$
или
$d^2(b^2-c^2) = b^2c^2(b^2-c^2)$
, что даёт нам
$d^2 = b^2c^2$.

[Утундрий]

То есть, точки задаются квадратами. Странный выбор.

[iskander9908]

Утундрий в сообщении #1572493 писал(а):

То есть, точки задаются квадратами. Странный выбор.

На само деле, нет. Тогда координаты центра вписанной окружность будут записаны $I = - (ab+bc+ca)$. Я пытался разобрать доказательство одной леммы, которую увидел. Думал, что возможно более простое доказательство, но судя по комментариям скорее всего доказательство в книге и есть оно. Извините, что не сразу дал ссылку. Надеюсь вы поможете разобраться с ним.
Доказательство леммы на странице 123. Последняя часть мне ясна, где доказывают, что центр вписанной окружность есть ортооцентр треуголька образованный пересечниями биссектрис с окружностью, но не ясно почему у точек координаты со знаком минус.

[Утундрий]

Тут, оказывается, целая теория. Это надобно пережевать.

[iskander9908]

Мне дали ссылку на блог Эвана Чена, c доказательством. Можете проверить внизу рассуждения?
Зафиксируем точки $A,B,C$. Пусть биссектрисы углов $A,B,C$ пересекают окружность в точах $D,E,F$соответсвенно. Координаты точек обозначим соответсвующие им буквы. Тогда выбирем любое $x$, такое, что $a = x^2$, а $y, z$, такие ,что $e= -zx, f = -xy$.
Докажем, что $d = -yz$. Так как $AD \perp EF$, то

$$\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm EF} &= \frac{1}{2}[(a-d)(\overline{e-f})+(\overline{a-d})(e-f)]$$ $$=(x^2-d)(\overline{zx-xy})+(\overline{x^2-d})(zx-xy)$$

$$=(x^2-d)(\frac{1}{zx}-\frac{1}{xy})+(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{d})(zx-xy)$$

$$=\frac{(x^2-d)(y-z)}{x}(\frac{1}{yz}+\frac{1}{d}) = 0$$

,
что даёт нам $d = -yz$.

[Утундрий]

Сами преобразования не содержат ошибок (кроме одной вольности с коэффициентом). Так что, если верно $AD \perp EF$, то верно и остальное.

[iskander9908]

Утундрий в сообщении #1572650 писал(а):

если верно $AD \perp EF$, то верно и остальное.

Да, это верно. Доказывается через простое вычисление углов. Спасибо.

[mihiv]

Представим координаты вершин треугольника в показательной форме:$A:e^{2i\varphi _A},B:e^{2i\varphi _B},C:e^{2i\varphi _C}$, то есть $a=e^{i\varphi _A}$ и т.д.Предполагаем, что $0\leq 2\varphi _{A,B,C}<2\pi $. Тогда из чертежа ясно(вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла), что если $2\varphi _A\notin (2\varphi _B,2\varphi _C)$, то аргумент координаты точки $D,\varphi _D=\varphi _B+\varphi _C$,то есть сама координата равна $e^{i(\varphi _B+\varphi _C)}=bc$, в противном случае координата равна $-bc$.