Интегральное уравнение наподобие Винера-Хоппфа

[_hum_]

Может, кто знает, где можно почитать про аналитический подход к решению следующего интегрального уравнения (похоже на Винера-Хоппфа второго рода, но еще с добавкой):

$$ y(x) - \int_0^\infty y(s) K(x-s)ds - a(x)\int_0^\infty y(s) b(s)ds = f(x), \quad x \geq 0, $$

или в другом виде,

$$ y(x) - \int_0^\infty y(s) \big(K(x-s) + a(x)b(s)\big)ds = f(x), \quad x \geq 0, $$

где $a,b,f$ - известные функции.

Спасибо.

p.s. На всякий случай, в моем случае $K(u)$ - гауссово (Кстати, где можно посмотреть решение уравнения Винера-Хоппфа второго рода для гауссова ядра?)

[krum]

а вот, допустим, какое отношение интеграл с $K$ имеет к решению уравнения теплопроводности?

[mihiv]

Общее замечание.
$\int \limits _0^{\infty} y(s) b(s)ds$ -это некоторая постоянная $C$, поэтому исходное уравнение можно представить в виде:

$$ y(x) - \int_0^\infty y(s) K(x-s)ds = f_1(x), \quad x \geq 0, f_1(x)=Ca(x)+f(x)\qquad \eqno(1)$$

Если найдем аналитическое решение уравнения (1), то сможем затем определить постоянную $C$.

[_hum_]

mihiv
спасибо. На всякий случай уточню, правильно ли я понимаю, что речь идет о том, чтобы сперва обратить оператор $L$ левой части уравнения (1), переписав это уравнение в виде наподобие $ y= L^{-1}(C_y a + f)$, или $ y= C_y L^{-1}(a) + L^{-1}(f)$, и потом из него, домножением левой и правой частей на $b(x)$ и проводя соответствующее интегрирование, получить уравнение для $C_y$, решив которое, окончательно записать выражение для $y$?
[С интегральными уравнениями раньше почти не сталкивался, потому такой подход (когда неизвестную функцию под функционалом позволяется таким образом "игнорировать") непривычен - выглядит, как будто идет какой-то обман :) ]

[krum]

я бы преобразование Фурье сделал. Там в Фурье-образах, вроде все явно пишется. Продолжаем $y,f$ и $a$ нулем на $(-\infty, 0)$. Интеград с $K$ превращается в стандартную свертку от $-\infty$ до $\infty$. Свертка при преобразовании Фурье переходит в произведение. Куда $K$ переходит тоже известно.

[_hum_]

krum
у меня как у неофита в интегральных уравнениях тоже были такие соображения (ввести $y_+(x) = (y(x) \,\mathrm{if}\, x>0, 0)}$), но загвоздка в том, что в таком варианте у вас при отрицательных значениях $x$ исходное уравнение превращается в $\int_0^\infty y_+(s) K(x-s)ds = 0$, решение которого, как естественно ожидать, будет несовместимо с исходным уравнением (для неотрицательных $x$). Потому в тех случаях, что я нашел (метод Винера-Хоппфа), поступают следующим образом (если говорить об уравнении Винера-Хоппфа вида (1)):
помимо $y_+(x)$ вводят также $q_{-}(x) = (\int_0^\infty y_+(s) K(x-s)ds \,\mathrm{if}\, x<0, 0)$ и с их помощью расширяют исходное уравнение до

$$y_+(x) - \int_{-\infty}^\infty y_+(s) K(x-s)ds = f_{1+}(x) - q_{-}(x), \quad x \in \mathbb{R}.$$

После переводят его с помощью преобразование Фурье (-Лапласа) в уравнения для образов, и там начинается "комплексная черная магия" :), которая позволяет избавиться от зависимости от неизвестного $q_{-}$. (Но я, честно говоря, пока не осилил все, что там делается - слишком, кажется, глубоко там надо знать комплексный анализ) :)

[krum]

Да, так не получается

[mihiv]

_hum_ в сообщении #1572353 писал(а):

правильно ли я понимаю, что речь идет о том, чтобы сперва обратить оператор $L$ левой части уравнения (1), переписав это уравнение в виде наподобие

Нет, я имел в виду решить уравнение (1) в том виде как оно записано (тем самым избавляемся от "добавки" к уравнению В,-Х). В результате мы должны получить решение, зависящее от параметра $C: y(x,C)$, с помощью найденного решения найдем постоянную из условия $C=\int \limits _0^{\infty }y(x,C)b(x)dx$. Т.е. действуем примерно как при решении инт. уравнения с вырожденным ядром.
А решение уравнения (1) придется находить методом В.-Х.

[krum]

а если взять преобразование Фурье от уравнения

$$y(x)I_{\{x>0\}} - I_{\{x>0\}}\int_{-\infty}^\infty I_{\{s>0\}} y(s) K(x-s)ds = f_1(x)I_{\{x>0\}}$$

-- 02.12.2022, 21:44 --

$I_{\{x>0\}}$ -- индикатор множества

[_hum_]

mihiv
так вроде бы Ваши слова совпадают с тем, что я озвучил:

mihiv в сообщении #1572371 писал(а):

решить уравнение (1) в том виде как оно записано (тем самым избавляемся от "добавки" к уравнению В,-Х)

равносильно

_hum_ в сообщении #1572353 писал(а):

обратить оператор $L$ левой части уравнения (1), переписав это уравнение в виде наподобие $ y= L^{-1}(C_y a + f)$,

(если сопоставить Ваше $ y(x,C)$ c моим $[L^{-1}(C_y a + f)](x)$). Нет? :)

-- Пт дек 02, 2022 23:22:32 --

krum
в этом случае не удастся воспользоваться свойством преобразования Фурье свертки.

[mihiv]

Просто для меня привычнее выражение "решить уравнение", чем "обратить оператор" .

[Евгений Машеров]

mihiv в сообщении #1572256 писал(а):

Общее замечание.
$\int \limits _0^{\infty} y(s) b(s)ds$ -это некоторая постоянная $C$, поэтому исходное уравнение можно представить в виде:

$$ y(x) - \int_0^\infty y(s) K(x-s)ds = f_1(x), \quad x \geq 0, f_1(x)=Ca(x)+f(x)\qquad \eqno(1)$$

Если найдем аналитическое решение уравнения (1), то сможем затем определить постоянную $C$.

А что "постоянная" это функция от y(x) - не смущает?

[mihiv]

Евгений Машеров в сообщении #1572413 писал(а):

А что "постоянная" это функция от y(x) - не смущает?

Евгений Машеров
Да, я неточно выразился. Нужно было как-то так: Наряду с исходным уравнением рассмотрим неоднородное уравнение (1), правая часть которого зависит от параметра $C$. Если для (1) выполнены условия применимости метода В.-Х., найдем его решение $y(x,C)$. Найдем затем значение параметра $C=C_0$, удовлетворяющее уравнению $C=\int \limits _0^{\infty }y(s,C)b(s)ds$, тогда функция $y(x,C_0)$ -решение исходного уравнения.

[Евгений Машеров]

Да, похоже на рабочую схему. Но похоже, это потребует не чисто аналитического, а численного решения. Хотя бы на втором этапе.

[_hum_]

Евгений Машеров в сообщении #1572430 писал(а):

Но похоже, это потребует не чисто аналитического, а численного решения. Хотя бы на втором этапе.

на втором этапе вроде бы теоретически все просто: из

_hum_ в сообщении #1572353 писал(а):

$ y= C_y L^{-1}(a) + L^{-1}(f)$

получаем
$C_y = C_y\int \limits _0^{\infty }[L^{-1}(a)](s)b(s)ds + \int \limits _0^{\infty }[L^{-1}(f)](s)b(s)ds$,
откуда $C_y$ легко выражается.