Дифференциальное исчисление на многообразиях

[мат-ламер]

На создание топика меня вдохновило: https://dxdy.ru/topic151588.html , где меня процитировали в первом посту. Я также как и тот топик-стартер нуждаюсь в советах по выбору литературы по теме, которую я кратко обозначил в заглавии - дифференциальное исчисление на гладких многообразиях. Пытался начать изучение с чего-нибудь простого. Есть серия "Математика в техническом университете". В этой серии под номером 5 издана книга - Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. "Дифференциальное исчисление функций многих переменных". http://library.lol/main/D3ED142B7321CD6A0E78FCE4DF9F1932 . Это материал первого курса для будущих инженеров. Вроде должно быть несложно. Собственно интересует материал последней 11-й главы. Я перечислю несколько терминов оттуда, чтобы было ясно, о чём идёт речь.

Гладкие многообразия. Карты. Атласы. Алгебра гладких функций и её дифференцирование. Дифференцирование функции на многообразии вдоль касательного вектора (производная Ли ?). Касательное пространство. Касательное расслоение. Дифференциал гладкого отображения на многообразии. Векторные поля. Фазовые потоки. Алгебры Ли векторных полей. Распределения. Пфаффиан. Теорема Фробениуса.

Я не знаю, понимают ли это студенты первого курса технического ВУЗА. Но что-то мне это заходит туго. Изложение слишком краткое. Примеров крайне мало. Мотивирующих пояснений, для чего этого нужно нет. Упражнений нет. Отдельных сборников задач для этой серии не выпущено. Хотя многое примерно понятно, но только примерно и интуитивно. В голове некоторый туман. Реально работать с этими понятиями не могу.

Не могли бы посоветовать книгу с изложением примерно этого материала, но только на более подробном и понятном уровне. Желательно, чтобы было побольше упражнений. У меня как-то понимание больше через них происходит.

[мат-ламер]

Пока немного раскопал, что на эту тему пишут в обычных учебниках анализа. Хотя последние книги, это учебники по многообразиям.

1. Зорич, т.2, пар. 15.2 и 15.3. В конце параграфов есть какие-то упражнения.
2. Решетняк, Курс математического анализа, часть II, книга 2, пар.15.3, В конце главы какие-то задачи есть.
3. Львовский, Лекции по математическому анализу, первая половина третьего семестра. Вроде тоже какие-то задачи есть в конце главы.
4. Натанзон, Введение в теорию гладких многообразий. Чувствую, что очень серьёзная книга.
5. Loring Tu. Introduction to Manifolds. Тоже чувствую, что книга серьёзная. Но что хорошо в иностранных книгах, что там много упражнений после каждого параграфа.

[Padawan]

Вам надо понять, цель, с которой Вы хотите изучить этот материал. Это некоторые общие понятия, можно сказать язык. Из существенного там только теорема Фробениуса об интегрируемых распределениях. Но сама по себе она многообразий не требует . То есть допустим Вы хотите изучать дифференциальную геометрию. Ну и берите сразу книжку по ней. А что не понятно, по вводным учебникам типа приведённых Вами добирайте.

-- Чт дек 01, 2022 16:35:35 --

Могу добавить Дубровин, Новиков, Фоменко Современная геометрия и Новиков, Тайманов Современные геометрические структуры и поля.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1572148 писал(а):

Вам надо понять, цель, с которой Вы хотите изучить этот материал.

Цель: 1) Понимать сложные книги по дифференциальной геометрии, что вы мне посоветовали.
2) Понимать книги по физике, типа ОТО.

Ещё раскопал такую книгу. Steven Weintraub. Differential forms. Первое издание я читал. Товарищ понятно пишет про дифференциальные формы. Сейчас посмотрел второе издание (2014 г.). Там появились новые главы. Например, глава 4. Differential manifolds. Но, почему-то в скачанном экземпляре нет оглавления, что не такая уж и беда.

Padawan . Спасибо за совет!

[svv]

Три очень разные книжки, с учётом "понимать книги по физике, типа ОТО".
1) М. Спивак. Математический анализ на многообразиях.
(Вообще-то Спивак — ещё и известный автор многотомного учебника по дифференциальной геометрии, но этот учебник только на английском.)
2) Б. Шутц. Геометрические методы математической физики.
3) Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски. Сборник задач по теории относительности и гравитации.

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1572148 писал(а):

То есть допустим Вы хотите изучать дифференциальную геометрию. Ну и берите сразу книжку по ней. А что не понятно, по вводным учебникам типа приведённых Вами добирайте.

А как связаны дифференциальная геометрия и вот этот весь многомерный анализ? Она полностью его покрывает?

[Padawan]

EminentVictorians
Анализ на многообразиях - это язык дифференциальной геометрии. И язык много ещё для чего другого, что связано с многообразиями. Но собственно Анализ - это про $\mathbb R ^n$. Для анализа как такового многообразия не нужны.