Член Гаусса-Бонне в лагранжиане

[Утундрий]

Нередко натыкался на утверждение, дескать использование сабджа в размерностях ниже пяти лишено смысла. Однако, применил и получил нетривиальны полевые уравнения. Удивился, пересчитал, пере-пересчитал. Теперь вот думаю, "то ли здесь числа просчёты, что сомнительно весьма..." Если у кого бывал в биографии опыт аналогичной трудности, то не сочтите за труд отписать за сие.

[Slav-27]

Не должно, это же вы просто прибавили к действию постоянное число.

[Утундрий]

Допустим правы все. Тогда та крокозябра, которая вылезла при вариации метрики есть нуль. Как нуль она совершенно не выглядит, но может это какое-то неочевидное торжество? Попробую расписать и упростить.

[Утундрий]

Крокозябра изящно выразилась через тензор Вейля.

$$W^{aijk}W_{bijk}-\dfrac{1}{4}W^{ijkl}W_{ijkl}\delta^a_b$$

Поскольку по ходу дела в точности сократилась целая куча разнородных слагаемых, вычисления скорее всего правильные.

Так, но тогда получается, что в размерности четыре эта штука должна быть торжественно равна нулю?

[Slav-27]

Видимо, да, вот тут такое тоже есть: https://physics.stackexchange.com/quest ... yl-tensors.
Как доказывать, я сходу не понимаю, но вообще такие вещи -- это утверждения из теории представлений группы Лоренца.

[Утундрий]

Slav-27
Спасибо за наводку. Попробую и в лоб и через упомянутую в ссылке двойственность Ланцоша.

[Утундрий]

Таки да! Тождество.

Для начала нужно вывести $e^{ijmn}e_{klpr}W^{pr}_{mn}=\pm 4 W^{ij}_{kl}$ раскрывая произведение двух дискриминантных символов через детерминант от символов Кронекера. Знак зависит от евклидовости/псевдоевклидовости пространства и на дальнейшее не влияет. Далее, заменяем каждый множитель в $W^{as}_{mn}W^{mn}_{bs} $ через приведенное выше представление и после аналогичных упражнений с определителями получаем искомое.