Непротиворечива ли арифметика Пеано?

[Yarkin]

epros в сообщении #155304 писал(а):

лучше просто считать понятие "натурального числа" изначальным и неопределяемым.

Хотите отнять у математиков соломинку?

AD в сообщении #155762 писал(а):

Зато среди читателей наверняка окажутся активные участники нашего форума - за примерами далеко ходить не надо

Я в это множество не вхожу, так как нахожусь среди "заинтересованных читателей".

[Черный Евгений]

Хотел бы напомнить высказывание Леонардо да Винчи "Никакое логическое построение не может быть убедительным. Только опыт". Какой опыт помогает нам понять арифметику? Камешки в натуральном виде. Тогда
1) Сложение всегда непротиворечиво;
2) Вычитание возможно только при условии "меньшее от большего", "равное от равного";
3) Произведение всегда непротиворечиво;
4) Деление непротиворечиво в случае его целочисленной реализации.

Больше в арифметике нет ничего. Если кому-то покажется, что есть, то пусть покажет это на камешках.

[shwedka]

Черный Евгений в сообщении #157167 писал(а):

Хотел бы напомнить высказывание Леонардо да Винчи "Никакое логическое построение не может быть убедительным. Только опыт".

Не вижу необходимости следовать бездоказательному эмоциональному ветхому высказыванию, хоть и великого человека.

[naiv1]

Черный Евгений в сообщении #157167 писал(а):

Хотел бы напомнить высказывание Леонардо да Винчи "Никакое логическое построение не может быть убедительным. Только опыт".

Не могли бы дать ссылку на источник?

Черный Евгений в сообщении #157167 писал(а):

1) Сложение всегда непротиворечиво;
...
3) Произведение всегда непротиворечиво;

В каком смысле "непротиворечиво"?

[вздымщик Цыпа]

Черный Евгений в сообщении #157167 писал(а):

Больше в арифметике нет ничего. Если кому-то покажется, что есть, то пусть покажет это на камешках.

Да, камешки — это наше все.

Черный Евгений в сообщении #157167 писал(а):

4) Деление непротиворечиво в случае его целочисленной реализации.

Какая нафиг целочисленная реализация?.. Все камешки мои. Кто будет что-то говорить про деление, тот получит в лоб, мало не покажется.

[Черный Евгений]

Ответ Naiv1.
1) Сейчас под рукой нет источника, но то что Леонардо так думал и говорил, это легко подтвердят участники форума. Да и любой участник форума со временем убеждается в правоте этого положения. Как только найду источник вышлю по "личке".
2) Непротиворечиво - в смысле всегда практически осуществимо, чего нельзя показать на вычитании и делении. При вычитании большего от меньшего негде взять камешков, а при нецелочисленном делении нужно всегда решать что делать с остатком. Никто не может предложить для этого универсальную схему. Арифметика уходит от этого вопроса через простую дробь. Она как бы говорит - дальше ваши проблемы. И действительно, в каждом конкретном случае мы принимаем приемлемое решение для остатка, но не арифметика.

Ответ Цыпе.
Вокруг всякого серьезного разговора об основаниях арифметики, всегда найдутся люди, не желающие видеть опыта. Опыт всегда подрезает нам крылья, а это досадно. Если бы люди, так много сил потратившие на "обоснование" арифметики, показали нам хоть какой то прок от этого для для самой арифметики, то я бы принял ваши остроумные замечания. Но это только упражнения в логике, причем упражнения далеко не очевидные и не однозначные. Зачем упражняться в том, от чего заведомо нет никакого толку? Впрочем есть, так подтверждают "ученость".

[shwedka]

Черный Евгений в сообщении #157332 писал(а):

но то что Леонардо так думал и говорил, это легко подтвердят участники форума.

в особенности, телепаты и супердолгожители. Совсем легко!!!

Черный Евгений в сообщении #157332 писал(а):

Да и любой участник форума со временем убеждается в правоте этого положения.

А это Вы, коллега, ясновидец!!

Черный Евгений в сообщении #157332 писал(а):

Непротиворечиво - в смысле всегда практически осуществимо,

А сразу написать, что имеется в виду, сил нет??

Черный Евгений в сообщении #157332 писал(а):

чего нельзя показать на вычитании и делении

Ну, это Вам нельзя, а если кто чуть больше соображает, то можно. Скажем, считать не камушки, а яблоки или кучки песка.

Но, так или иначе, ваш унивесальный закон об ОПЫТЕ лишь провозглашен, но ни капельки не обоснован!!

[Черный Евгений]

Ответ даме из Швеции.
"Взволновано ходили Вы по комнате,
и что-то резкое в ответ бросали мне." (Есенин.)
Если Вас интересует арифметика и ее противоречивость (или не), то покажите мне положение в арифметике, которое нельзя было бы подтвердить или опровергнуть опытом. Соглашусь с тем, что наш опыт ограничен, но не для арифметики натуральных чисел. Мне она дорога тем, что нет ничего яснее ее и скорее всего именно она и реализована в природе.

[shwedka]

Черный Евгений в сообщении #157370 писал(а):

то покажите мне положение в арифметике, которое нельзя было бы подтвердить или опровергнуть опытом

Нетушки!!!
Так наука не делается!. Вы сделали заявление, на Вас и лежит обязанность его доказывать. Не положено вместо этого требовать контрпример у робко сомневающихся в Вашей гениальности.

[вздымщик Цыпа]

Черный Евгений в сообщении #157332 писал(а):

Опыт всегда подрезает нам крылья, а это досадно.

Да, опыт показывет, что никакого умножения и деления на камушках не построить. Если разделить 12 камушков по 3, то получается 4 кучки камушков. А 4 кучки — это совсем не то же самое, что 4 камушка. Чтобы построить так деление и умножение надо легализовать понятие кучки. А тогда уж можно говорить и о полукучках и других рациональных числах. А как только я займусь в Вашей секте камушкопоклонников ростовщичеством, то все сразу станут мне должны очень много камушков и кучек — это отрицательные числа. Тем самым, $\mathbb{Q}$ на камушках и кучках построено.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #157169 писал(а):

Не вижу необходимости следовать бездоказательному эмоциональному ветхому высказыванию, хоть и великого человека.

У этого "великого человека" достаточно было противников в свое время, а в историю вошел он один. Все свои "ветхие высказывания" он, по возможности, проверял на опытах.

shwedka в сообщении #157377 писал(а):

Так наука не делается!.

Наверно вместо слова "наука" должно стоять слово "математика"

вздымщик Цыпа в сообщении #157379 писал(а):

Если разделить 12 камушков по 3, то получается 4 кучки камушков. А 4 кучки — это совсем не то же самое, что 4 камушка

Никакого противоречия - кучку из 12 камешков Вы делили, а не камешки. Можете проверить на счетных палочках.

[вздымщик Цыпа]

Yarkin в сообщении #157412 писал(а):

Никакого противоречия - кучку из 12 камешков Вы делили, а не камешки. Можете проверить на счетных палочках.

Вы не вникли в контекст. Перечитайте еще раз, начиная отсюда: http://dxdy.ru/topic17091-30.html#157167 .

[Профессор Снэйп]

Черный Евгений писал(а):

1) Сложение всегда непротиворечиво;
2) Вычитание возможно только при условии "меньшее от большего", "равное от равного";
3) Произведение всегда непротиворечиво;
4) Деление непротиворечиво в случае его целочисленной реализации.

Что значит "сложение непротиворечиво"? Я не понимаю. Противоречивым или непротиворечивым может быть утверждение, либо совокупность утверждений (теория), но никак не операция. Вероятно, Вы путаете "непротиворечивость" с "определённостью при всех значениях аргументов".

[Черный Евгений]

Теперь привожу Леонардо дословно, и признаю что в своем сообщении я передал его мысль "своими словами", не испортив при этом смысла: "И если ты скажешь, что науки начинающиеся и кончающиеся в мысли, обладают истиной, то в этом нельзя с тобой согласиться, а следует отвергнуть это по многим причинам, и прежде всего потому, что в таких чисто мысленных рассуждениях не участвует опыт, без которого нет никакой достоверности".
Леонардо да Винчи, "О науке". Цитируемо по Голин, Филонович "Классики физической науки", М., "Высшая школа", 1989, на стр.34. Там еще много прекрасных мыслей, как мне кажется, непосредственно относящихся к теме о том, можно ли только через умозаключения установить истину. А тем более через голосование. Не думаю, что за Коперника в свое время подали бы хоть один голос.

Ответ профессору и Цыпе..
1) Сложение всегда непротиворечиво, поскольку всегда практически осуществимо. Берем камешки и проверяем. Получается.
2) Умножение всегда непротиворечиво, поскольку есть только ускоренное сложение. Цыпа, умножить 3 на 5 это значит к трем пять раз прибавить 3. Берем камешки и проверяем. Получается.
3) Вычитание противоречиво поскольку возможно только при условии "меньшее от большего", или "равное от равного"; Берем камешки и проверяем. Получается или не получается. Следовательно противоречиво.
4) Поскольку деление это ускоренное вычитание, то все тяжелое наследие противоречивости вычитания передается делению. Цыпа, разделить 15 на 3, значит вычитать из 15 по 3 столько раз, сколько это возможно.

[вздымщик Цыпа]

Черный Евгений в сообщении #157608 писал(а):

2) Умножение всегда непротиворечиво, поскольку есть только ускоренное сложение. Цыпа, умножить 3 на 5 это значит к трем пять раз прибавить 3. Берем камешки и проверяем. Получается.

Что такое 5 раз? Вы не умеете считать разы. Разы — это не камушки.