Наименьший порядок конечного поля

[Chandrasekhar]

Найти наименьший порядок конечного поля $F$, обладающего следующим свойством: существует многочлен $f \in F[x]$, делящийся на свою производную и имеющий в поле $F$ ровно 2022 различных корня.

Хотелось бы уточнить правильность моих рассуждений.
В данном случае рассматривается поле Галуа с положительной характеристикой, а значит порядок имеет вид $q^n$, где $q$ - простое, $n$ - натуральное. Исходя из того, что различных корней должно быть ровно 2022, можно сделать вывод, что $q^n \geq 2022$. Ближайшее такое число 2027. Далее нужно привести пример такой функции. Мне кажется можно взять, например $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)^{2027} ... (x-x_{2022})^{2027}$. Тогда $f'(x)=(x-x_2)^{2027} ... (x-x_{2022})^{2027}|f(x).$

Задача предлагалась на недавней олимпиаде, проходившей 20 ноября, но я так понимаю, уже нет никаких проблем ее обсуждать, так как она закончилась.

[artempalkin]

Похоже на правду, но совершенно непонятно, зачем тогда нужно второе условие (что многочлен делится на свою производную)... Если его убрать, кажется, ничего не изменится

[Chandrasekhar]

artempalkin в сообщении #1571422 писал(а):

Похоже на правду, но совершенно непонятно, зачем тогда нужно второе условие (что многочлен делится на свою производную)... Если его убрать, кажется, ничего не изменится

Подозреваю данное условие нужно для того, чтобы был показан пример функции $f$, такой, что она делится на производную. Да и когда накладываются условия, никто не может быть уверен, что они никак не повлияют на задачу.