Проекция симметрий и исключение

[DLL]

Меня вот такой вопрос заинтересовал - ответа пока не нашел.
Допустим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений

$$ x_1''(t) = f_1(x_1',x_1,x_2',x_2,t), $$ $$ x_2''(t) = f_2(x_1', x_1, x_2',x_2,t). $$

Можно начать с линейных хотя по идее разницы быть не должно.
Путем дифференциального исключения можно получить одно уравнение более высокого порядка.
Как связаны групповые симметрии исходной системы и исключающего уравнения?
По идее должно быть нечто типа проектирования симметрий. Или нет?

[krum]

DLL в сообщении #1571389 писал(а):

Путем дифференциального исключения можно получить одно уравнение более высокого порядка.

методом дифференциального исключения получите одно уравнение более высокого порядка из системы

$$\dot x_1=f(x_1),\quad \dot x_2=g(x_2)$$

Мэйнстрим в этой науке это не книжка Олвера или Овсянникова. Мэйнстрим это поля на многообразиях, коммутаторы, тензорные инварианты и т.п. Причем в глобальной постановке. Это просто так. К слову.

[VanD]

Результат удачного исключения переменных и повышения порядка можно рассматривать как образ другого вложения (в другие джеты даже) того же уравнения.
Симметрии -- объекты внутренней геометрии. Таким образом, ответ на Ваш вопрос: (высшие) симметрии одни и те же. Проще всего это понять, рассматривая уравнения с внутренней точки зрения.

(Оффтоп)

Вообще говоря, законы сохранения и вариационные принципы тоже объекты внутренней геометрии (вариационные принципы до некоторой пока непонятной степени, насколько мне известно). Со скобками Пуассона сложнее. Это потому что касательное уравнение внутренним образом определить легко (особенно его нечётную версию), а вот с кокасательным не до конца понятно что делать, если исходное уравнение не ОДУ.

[DLL]

А в какой-нибудь книжке может есть теорема на этот счёт?

[VanD]

В книге "Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики" под редакцией А.М. Виноградова и И.С. Красильщика на стр. 186 (2-го русскоязычного издания) есть раздел, посвящённый этому вопросу -- "Внешние и внутренние высшие симметрии".