Применение понятия вероятности к реальному миру

[Anton_Peplov]

Мы поспорили с Doctor Boom на тему, удовлетворительно ли Колмогоров аксиоматизировал теорию вероятностей. Поскольку я не претендую на звание глубокого знатока теории вероятностей, пусть уважаемые математики рассудят, кто из нас прав.

ЛС, на которые я здесь отвечаю, цитируются с согласия автора. Также по согласованию с модератором цитирую кое-что из Пургатория.

Doctor Boom писал(а):

Ну вот вам мнения других математиков

Цитата:

Некоторые учёные не согласны с тем, что Колмогоров сделал теорию вероятностей аксиоматической теорией. Их доводы:

Вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Например, так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», что не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели, со свойствами похожими на настоящие мосты.

Мой ответ. Дело математики и есть строить математические модели, а не изучать настоящие мосты из железобетона. И пока и поскольку мы считаем теорию вероятностей разделом математики, аксиоматика Колмогорова исчерпывающе отвечает нам на вопрос, что такое вероятность.

Doctor Boom в сообщении #1570307 писал(а):

Для моделирования с.в. с любым распределением вам нужна с.в. с равномерным распределением, ее вы получаете из реального мира - алгоритмы псевдоГСЧ, тепловой шум, квантовые коллапсы, ее нельзя получить из каких-то там мер.

Ну, для начала, какой Вам алгоритм псевдоГСЧ "реальный мир"? ПсевдоГСЧ потому и псевдо-, что это алгоритм, каждая выдача которого предопределена в том же смысле, в каком предопределены все знаки числа $\pi$. Это же математическая абстракция в чистом виде.

И потом, задача высосать случайную величину из пальца зачастую и не стоит. Стоит задача, например, определить погрешность измерения по множеству отдельных измеренных значений. Или там вывести закон распределения доходов населения. Не должен же я рассказывать про задачи математической статистики, правда?

А еще есть, например, целый раздел электродинамики, без которой приличный радиоастроном или ионосферщик сразу повесился бы: распространение волн в случайно-неоднородных средах. Заметьте, в случайно-неоднородных, а не в случайно-нестационарных. Неоднородности не появляются друг за другом во времени, как при работе ГСЧ или тепловом шуме. Они к началу распространения волны даны нам все сразу, налицо. Просто их очень много, в них нет никакой простой закономерности, и лучший способ их описать и учесть - случайная величина. А будь это не офигиллиард неоднородностей на пути радиоволны, а несколько ям на дороге с работы домой? Тогда эффективнее было бы просто запомнить их все, чтобы водитель точно знал, где какую объехать. И тут величина - бац - перестала быть случайной! Без регистрации, sms и упразднения квантовых коллапсов.

Или другой пример. Палеонтологи применяют байесовы методы, чтобы решить, к какому виду и роду относился динозавр, чьи полторы кости они нашли. Это применение теории вероятностей? Конечно! Только вот они не знают, что их разыграл злобный доктор Экс, который стащил эти полторы кости из полного скелета курозавра пупырчатого. Он-то точно знает и род, и вид. Есть для него какая-то вероятность или случайность в видовой принадлежности сей рептилии? Вряд ли. И не потому, что для шутника и его коллег природа разная. А потому, что он знает, а они нет.

Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что мы считаем величину случайной и применяем к ней аппарат теорвера, когда не знаем и не пытаемся узнать, какое в точности значение она примет. Почему не знаем - дело десятое. Может быть, потому что это тепловой шум или выдача генератора псевдослучайных чисел. А может быть, потому что мы не измерили заранее рост всех тех людей, которым мы собираемся продавать штаны. Не вызубрили назубок координаты каждой звезды, видимой на небе невооруженным глазом. А это с хорошей точностью пуассоново распределение за пределами видимой полосы Млечного Пути - как Вам Галактика в роли генератора случайных чисел? Или не держали свечку 70 миллионов лет назад, когда курозавр пупырчатый окучивал свою курозавриху. Но как минимум в некоторых из этих случаев мы могли бы заранее иметь точную информацию и не считать величину случайной. Никакой "случайности, объективно существующей в природе", не требуется.

Doctor Boom писал(а):

И как вы из экспоненты собрались сделать черный ящик? Мне прям интересно, а мы уже не в Прр

Вот так. Позвольте только не из экспоненты, а их $y = x^3$, чтобы нигде не менять $\mathbb R$ на $\mathbb R_+$.
Для начала дадим общее определение. Рассмотрим пространство $D$ с заданной на нем сигма-алгеброй $\Sigma$. Рассмотрим также вероятностное пространство $( \Omega, \Gamma, P)$.
Случайной величиной $X$ называется $(\Gamma, \Sigma)$-измеримая функция $x = \xi( \omega)$ , определенная на $\Omega$ и принимающая значения из $D$.
Как это соотносится с клише "случайная величина принимает значение в результате опыта"? На этом языке можно сказать следующее. Когда в результате опыта появляется тот или иной элементарный исход $\omega$, случайная величина $X$ принимает значение $x$, однозначно определённое этим элементарным исходом: $x = \xi( \omega)$. Мы можем говорить о вероятности того, что $X$ примет значения из некоторого подмножества $D$, и все имеющие вероятность подмножества $D$ образуют сигма-алгебру $\Sigma$. Вероятность того, что $X$ примет значение из $A \in \Sigma$, есть вероятность события $\xi^{-1}(A)$ (которое по условию $(\Gamma, \Sigma)$-измеримости функции $\xi$ таки событие, т.е. принадлежит $\Gamma$ и, следовательно, имеет вероятность).

Теперь пусть $\Omega = D = \mathbb R$, $\Gamma =\Sigma$ - борелевская сигма-алгебра над $\mathbb R$. Нужно еще задать на $\mathbb R$ вероятностную меру. С этим справится любая функция, удовлетворяющая требованиям к интегральному закону распределения, например, нормальный закон. Это, кстати, будет закон распределения случайной величины $X^\prime$, заданной функцией $\xi^\prime(x) = x$. Эта не та СВ, которую мы строим, но нам сейчас важно превратить $\mathbb R$ в вероятностное пространство. Теперь осталось положить, что $\xi (x) = x^3$. Полином - борелевская функция, так что требование измеримости выполнено. Фсё.

Теперь то же на языке опыта. Каждый раз, когда в результате опыта появляется тот или иной элементарный исход $x$, случайная величина $X$ принимает значение $x^3$. Для любого борелевского множества $A$ определена вероятность того, что $x^3 \in A$.

Предвижу возражение: "Аааа, в результате оооопыыыта? У вас там в конструкции все равно спрятался мальчик, который бьет палкой по черному ящику! А вот вы напишите компьютерную программу, чтобы она из этого вашего $y = x^3$ чеканила числа, которые лично я сочту случайными!". Как я уже говорил в самом начале, это возражение класса "почему по математической модели моста нельзя перейти реку". Но, может быть, я не прав и чего-то не понимаю.

А, уважаемые математики?

[warlock66613]

Пока ждём математиков, замечу, что колмогоровская аксиоматика получилась очень универсальной с точки зрения приложений. Не важно, обсуждаем ли мы субъективные байесовские вероятности или объективные (объективизированные) вероятности статистической физики или даже фундаментальные квантовомеханические вероятности, делаем ли мы практические вычисления или ищем фундаментальные философские обоснования применению теории вероятностей в физике — аксиоматика Колмогорова всегда служит надёжной опорой. Нет, всегда может хотеться большего, и сам Колмогоров не был вполне удовлетворён своим результатом, насколько я знаю, и много его (и его учеников) достижений были мотивированы этой неудовлетворённостью, но это никак не обесценивает достоинства обсуждаемой аксиоматики.

[мат-ламер]

Цитата:

Вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать,

Да, вероятность - это понятие реального мира. А теория вероятностей - это понятия учёных. И аксиоматика Колмогорова даёт удобный язык для выражения этих понятий.

Ende
Поправил цитату. Движок приписывает авторство тому, на чьем сообщении была нажата кнопка "Вставка". Но ничего не мешает поправить теги ручками.

[ozheredov]

мат-ламер в сообщении #1570762 писал(а):

Да, вероятность - это понятие реального мира.

Что такое понятие реального мира? Число дыва -- понятие реального мира? А дивергенция или ротор? А Маша Иванова? А двадцать пятое октября сто пятьдесят третьего года? А подлежащее и сказуемое?

По каким критериям мне отличать понятия реального мира от выдумки типа теорвера?

-- 22.11.2022, 05:25 --

ИМХО, говорить об объективном существовании различимых объектов (вот так, тавтология) в реальности -- то же, что зачерпнуть ведро воды и говорить, что в нем есть вода, вода, вода и вода.

[Doctor Boom]

Собственно, на основной вопрос темы

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

удовлетворительно ли Колмогоров аксиоматизировал теорию вероятностей, ведь вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель

и объяснение Anton_Peplov

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Мой ответ. Дело математики и есть строить математические модели, а не изучать настоящие мосты из железобетона. И пока и поскольку мы считаем теорию вероятностей разделом математики, аксиоматика Колмогорова исчерпывающе отвечает нам на вопрос, что такое вероятность.

Я ответил в ЛС

Цитата:

Ок, в качестве бытования в разделе математики можно вынести ключевые аспекты вероятности в офшоры

, так что соглашусь
По поводу второго моего вопроса, как из аксиоматики Колмогорова сделать черный ящик, вы сами же и ответили

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Аааа, в результате оооопыыыта? У вас там в конструкции все равно спрятался мальчик, который бьет палкой по черному ящику! А вот вы напишите компьютерную программу, чтобы она из этого вашего $y = x^3$ чеканила числа, которые лично я сочту случайными!".

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Как я уже говорил в самом начале, это возражение класса "почему по математической модели моста нельзя перейти реку"

Все-таки под черным ящиком имеется ввиду нечто, что способно давать последовательно случайные конкретные числа, а он может походу может быть только реальным, то бишь каменным мостом.
По по поводу остального

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Ну, для начала, какой Вам алгоритм псевдоГСЧ "реальный мир"? ПсевдоГСЧ потому и псевдо-, что это алгоритм, каждая выдача которого предопределена в том же смысле, в каком предопределены все знаки числа $\pi$. Это же математическая абстракция в чистом виде

Я под псевдоГСЧ понимал немного другое - он псевдо потому, что его выдаваемые значения не совсем случайны в том смысле, что не полностью могут пройти все тесты на случайность. Если псевдоГСЧ достаточно хорош для того, чтобы мы его результаты считали случайными с удовлетворительной точностью, то приставку псевдо можно и убрать. (кстати я под (псевдо)ГСЧ также имел ввиду и цифры числа пи)

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

И потом, задача высосать случайную величину из пальца зачастую и не стоит. Стоит задача, например, определить погрешность измерения по множеству отдельных измеренных значений. Или там вывести закон распределения доходов населения. Не должен же я рассказывать про задачи математической статистики, правда?

Тут вроде вообще от случайности можно отказаться, имеем кучу чего-то, что имеет такое-то статистическое распределение, т е. по сути работаем не с вероятностями, а с частотами

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

А еще есть, например, целый раздел электродинамики, без которой приличный радиоастроном или ионосферщик сразу повесился бы: распространение волн в случайно-неоднородных средах. Заметьте, в случайно-неоднородных, а не в случайно-нестационарных. Неоднородности не появляются друг за другом во времени, как при работе ГСЧ или тепловом шуме. Они к началу распространения волны даны нам все сразу, налицо. Просто их очень много, в них нет никакой простой закономерности, и лучший способ их описать и учесть - случайная величина

Да разумеется, я под ГСЧ подразумевал и "стационарный вариант", типа цифр пи, или неоднородностей пыли, даже более того, нестационарный псевдоГСЧ иногда можно свести к стационарному (например если он реализован как детерминированный алгоритм, и последующие случайные значения определяются из случайных "стационарных" начальных условий).

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

А будь это не офигиллиард неоднородностей на пути радиоволны, а несколько ям на дороге с работы домой? Тогда эффективнее было бы просто запомнить их все, чтобы водитель точно знал, где какую объехать. И тут величина - бац - перестала быть случайной! Без регистрации, sms и упразднения квантовых коллапсов.

А тут уже баейсовский подход, распределение вероятностей меняется в зависимости от поступающей информации, т.е. имеем классический (не квантовый) "коллапс". А в квантах появляется еще одна интересная штука - если у нас система описывается некой матрицей плотности, то она как может быть реализована как неизвестное чистое состояние (классическая взвешенная вероятностная смесь чистых состояний), и как подсистема общей системы, которая находится в чистом состоянии. Несмотря на то, что математически это выражается одинаково, онтологическое различие есть (у этого даже есть какое-то название)

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Или другой пример. Палеонтологи применяют байесовы методы, чтобы решить, к какому виду и роду относился динозавр, чьи полторы кости они нашли. Это применение теории вероятностей? Конечно! Только вот они не знают, что их разыграл злобный доктор Экс, который стащил эти полторы кости из полного скелета курозавра пупырчатого. Он-то точно знает и род, и вид. Есть для него какая-то вероятность или случайность в видовой принадлежности сей рептилии? Вряд ли. И не потому, что для шутника и его коллег природа разная. А потому, что он знает, а они нет.

Мое понимание вероятности больше байесовское, т.е. субъективное - если нечто для нас ведет как процесс, который мы понимаем/описываем/считаем как вероятностный, то значит он такой и есть по определению А дальше уже можно ставить другие вопросы - этот процесс сам по себе (или для кого-то) уже определен (а нам просто неизвестен), или же он случаен фундаментально (как квантовый коллапс, но и он не точно)

Anton_Peplov в сообщении #1570743 писал(а):

Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что мы считаем величину случайной и применяем к ней аппарат теорвера, когда не знаем и не пытаемся узнать, какое в точности значение она примет

А для меня случайная величина это только частный случай того, что вы описали. Т.е. я допускаю существование величин, которые мы не можем точно прогнозировать, но они и не будут являться случайными, т.к. не будут иметь их некоторые свойствами (и показывать другое поведение в специальных тестах, нежели другие случайные величины с разными распределениями)

-- 22.11.2022, 09:48 --

ozheredov в сообщении #1570826 писал(а):

Что такое понятие реального мира?

Это понятие, созданное нашим (или чьим-то иным) разумом, которое аттрибутировано к реальному миру. И да, предвосхищая след. вопрос, для разных разумных наблюдателей (например людей и инопланетян) реальность может видеться совершенно по разному, но каждый из них будет прав

-- 22.11.2022, 09:50 --

ozheredov в сообщении #1570826 писал(а):

Число дыва -- понятие реального мира? А дивергенция или ротор? А Маша Иванова? А двадцать пятое октября сто пятьдесят третьего года? А подлежащее и сказуемое?

Да

ozheredov в сообщении #1570826 писал(а):

По каким критериям мне отличать понятия реального мира от выдумки типа теорвера?

Понятия теорвера приложимы к реальности, а например понятие счетной или континуальной мощности множеств - нет

[EUgeneUS]

Цитата:

Вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Например, так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», что не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели, со свойствами похожими на настоящие мосты

Из того, что земельный участок - понятие реального мира, никак не следует невозможность аксиоматизации геометрии.

Ende
И тут цитирование поправил. Пожалуйста, не приписывайте участнику того, что он не говорил.

[warlock66613]

Doctor Boom в сообщении #1570839 писал(а):

Понятия теорвера приложимы к реальности, а например понятие счетной или континуальной мощности множеств - нет

Во выясняется…

[ozheredov]

Doctor Boom в сообщении #1570839 писал(а):

Понятия теорвера приложимы к реальности, а например понятие счетной или континуальной мощности множеств - нет

Вот есть какой-то сигнал (понятие сигнал-то, надеюсь, аттрибутировано к реальному миру?), и он, скажем, периодический. У него есть спектр (он тоже надеюсь аттрибутирован, потому что сепаратриса между слышимым и неслышимым звуком проходит в частотной области). Так вот, этот спетр имеет счетное множество пиков.... Я бы тут, конечно, вывернулся, что дескать сигнал то аттрибутирован к реальному миру, а базис, по которому вычисляются коэффициенты разложения, чтобы их потом в квадрат -- не аттрибутирован, он есть наша чистейшая выдумка. Но, однако, базис -- не выдумка, ибо есть разделение на слышимый и не- звук именно исходя из разложения по базису (((((гармоник))))).

Так что непонятны критерии того, является ли понятие аттрибутированным или нет.

-- 22.11.2022, 16:42 --

EUgeneUS в сообщении #1570898 писал(а):

земельный участок - понятие реального мира

Не согласен. Я подделаю документы, и вот уже нету никакого участка. А построение произвольной замкнутой кривой на местности ещё не делает ее внутреннюю область участком.

[Doctor Boom]

ozheredov в сообщении #1570968 писал(а):

Так вот, этот спетр имеет счетное множество пиков.... Я бы тут, конечно, вывернулся, что дескать сигнал то аттрибутирован к реальному миру, а базис, по которому вычисляются коэффициенты разложения, чтобы их потом в квадрат -- не аттрибутирован, он есть наша чистейшая выдумка. Но, однако, базис -- не выдумка, ибо есть разделение на слышимый и не- звук именно исходя из разложения по базису (((((гармоник))))).

Хороший пример, да. Хотя вывернуться легко - рассмотреть сигнал на дискретной решетке, тогда никаких счетных пиков не будет

-- 22.11.2022, 18:07 --

warlock66613 в сообщении #1570960 писал(а):

Во выясняется

Да, примеры же очевидны - счетные и континуальные базисы в тех же квантах Я просто подумал об использовании факта несчетности континуума, ведь в физике непрерывные спектры можно рассматривать как дискретные с малым шагом, да и бесконечность в физике не равна оной в математике

[warlock66613]

Doctor Boom в сообщении #1570992 писал(а):

Да, примеры же очевидны - счетные и континуальные базисы в тех же квантах

Я бы даже менее очевидный пример предложил: количество молекул в стакане воды с очень хорошей точностью равно счётной бесконечности, и любой термодинамический расчёт этим приближением неявно пользуется.

[EUgeneUS]

ozheredov

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1570968 писал(а):

Не согласен. Я подделаю документы, и вот уже нету никакого участка.

"А если Вы бочку катите, то это уже контейнерные перевозки" (с)

[Doctor Boom]

warlock66613 в сообщении #1571000 писал(а):

Я бы даже менее очевидный пример предложил: количество молекул в стакане воды с очень хорошей точностью равно счётной бесконечности, и любой термодинамический расчёт этим приближением неявно пользуется

Все таки различие с математической счетной бесконечностью есть - в последней бесконечное подмножество равномощно всему множеству, а это имхо качественное отличие. И да я еще дополнил пост выше про континуальную бесконечность

[wrest]

ozheredov в сообщении #1570826 писал(а):

По каким критериям мне отличать понятия реального мира от выдумки типа теорвера?

Всё украдено до нас Платоном: есть мир вещей (реальный) и мир идей (выдумки).