Нужна помочь по теории основ высшей алгебры

[int13]

Нужно подготовиться к зачету в скором времени, и желательно разобраться во всех вопросах. Некоторые их них я разобрал самостоятельно, а некоторые вещи я никак не могу понять.
Например:
Понятие кольца и поля.
Что значит "все ненулевые элементы обратимы"
Примеры кольца и поля...
Множество целых чисел можно назвать кольцом? А полем?
Теорема о минимальности поля рациональных чисел (среди числовых полей)
В интернете не нашел даже упоминания об этой теореме...

[gris]

int13 писал(а):

Теорема о минимальности поля рациональных чисел (среди числовых полей)

Наверное, имеется ввиду простота Q? То есть то, что у Q нет подполей. Или то, что само оно является подполем любого числового поля.
По-моему, в любом учебнике написано, чем поле отличается от кольца. Ведь поле - это кольцо, у которого есть еще кое-какие свойства.
В кольце две операции. Одна обязательно обратима. Обратимость можно понимать и как существование обратного элемента, и как существование решения определенного уравнения. В поле обратима и другая операция.
Надо вначале хорошо разобраться с группами. Именно там вводится определение обратного элемента.

[int13]

Насчет, чем отличается, это да, написано.
А вот примеры подобрать, чтобы понять, "практически?" чем же отличается кольцо от поля, мне не удалось.
>> Именно там вводится определение обратного элемента.
Я представляю что такое обратный элемент.
Например, на множестве вещественных чисел, с операцией сложения, обратный элемент равен

$$-x$$

...
Текст учебника кажется мне слишком сложным для моего восприятия.
Теорема о минимальности поля рациональных чисел (среди числовых полей) - также этой теоремы я там не нашел. Хотя в вопроснике она есть..

[gris]

Ну так возьмите множество целых числел. Операции сложения и умножения. По определению кольца проверьте всякие там дистрибутивности и т.д.
И смотрите: У любого целого есть обратный по сложению, то есть противоположное число ( -х ). А вот по умножению нет обратных вообще ( кроме 1). Поэтому Z не поле.
Уравнение $x + a = b$ всегда разрешимо, а $xa =b$ не всегда. Зато в полях Q, R, C оно неразрешимо, если только а равно, а b не равно 0.
Кроме этих еще куча числовых полей. Но все они содержат Q в качестве подполя.
*** уточняю - поля с характеристикой 0.

[tolstopuz]

int13 писал(а):

Что значит "все ненулевые элементы обратимы"

В поле, например, поле рациональных чисел, на ноль делить нельзя, зато на остальные числа всегда можно.

В кольце, не являющемся полем, например, кольце целых чисел, есть ненулевые элементы, на которые что-то не делится. Например, не все целые числа делятся на 2.

int13 писал(а):

Множество целых чисел можно назвать кольцом?

Проверяйте все аксиомы.

int13 писал(а):

А полем?

Проверяйте дополнительные аксиомы поля.

[int13]

Спасибо. Вроде дошло
Вот еще один из вопросов.
Поле комплексных чисел. Операции с комплексными числами в алгебраической форме записи. Сопряженные числа и действия с ними. Доказать, что

$$ \overline {\alpha \circ \beta } = \overline \alpha \circ \overline \beta $$

Собсно, вопрос.
Как правильно доказать это "равенство?" чтобы не вызвать шквал дополнительных вопросов со стороны препода?

[Really]

int13 в сообщении #157127 писал(а):

Как правильно доказать это "равенство?" чтобы не вызвать шквал дополнительных вопросов со стороны препода?

Найти отдельно левую и правую части. И увидеть, что они равны.

[int13]

Теорема о разложении многочлена в произведении линейных множителей над полем комплексных чисел.
И её доказательство. Где можно об этом почитать?

[Xaliuss]

Ну последняя - Основная теорема алгебы, доказал ее еще Гаусс. Есть в любом учебнике по алгебре.

[ewert]

теорема Гаусса -- это, между прочим, круто. Сомневаюсь, что её можно идейно доказать за пределами ТФКП. (В пределах -- достаточно банально.)

[int13]

Отлично. Предыдущий вопрос так же снят
Теорема об обобщенной ассоциативности и коммутативности. Действия с двойными суммами.
Поисковики, под моим неумелым руководством, так же молчат

Добавлено спустя 13 минут 42 секунды:

Кажется нашел у себя в лекциях.
Правда она в таком нечитаемом виде, что легче убить себя, чем в этом разобраться. Может можно найти другие источники?

[int13]

Это кажется невероятным, но я единственный из группы, кто умудрился сдать зачет по ГА! В связи с этим, выражаю всем огромную благодарность.
Теперь надо бы приступить разбираться с мат. анализом, а именно:
http://dxdy.ru/topic17016-all.html

[ewert]

а в чём там проблемы? Вы ж в предпоследний раз вроде всё правильно вынесли, осталось тока сократить

[tolstopuz]

ewert писал(а):

теорема Гаусса -- это, между прочим, круто. Сомневаюсь, что её можно идейно доказать за пределами ТФКП. (В пределах -- достаточно банально.)

Дело вкуса. Мне доказательство через свойства силовской 2-подгруппы группы Галуа кажется не менее идейным

[ewert]

это ещё хуже. ТФКП -- это хотя бы ликбез...