Гмурман, задача 9. "Руководство к решению задач по теорверу"

[NameIsArt]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с формулировкой задачи и решением Гмурмана.

Цитата:

Задача 9.
Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

Решение. Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т.е. $C^3_6$. Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т.е. $C^2_5$. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу
возможных элементарных исходов: $P = C^{2}_{5} C^{3}_{6} = 1/2$.

Моё решение.
Ответ: P = 5/18. Доказательство: если на первой кости 6 и на двух других различные значения, тогда число таких исходов равно выбору двух из 5 с учетом порядка: 5*4 = 20. Шестерка может быть у любой из трех костей, тогда складываем мощности каждого множества (несовместны, теорема сложения): 5*4 + 5*4 + 5*4 = 60. Всего вариантов, с учетом порядка (различаем первую, вторую и третью игральные кости) равно количеству перестановок 3 из 6 с повторениями: 6*6*6. Тогда ответ: 60/6/6/6 = 10/6/6 = 5/18.

Вопросы:

1. Гмурман: "Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т.е. $C^3_6$." Почему не учитываются у Гмурмана исходы, где числа равны на костях? Например (6 6 6)? В условии, "если на гранях двух других костей выпадут", предполагает, что? Исходы это _только_ те, где неравны все числа? А остальные броски мы не учитываем?

2. Гмурман: "Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, , к общему числу возможных элементарных исходов: $P = C^2_5 C^3_6 = 1/2$". Но ведь учли только одно множество, когда на одной кости 6, не учли два других множества. Верно?

[Sdy]

NameIsArt,
Вы когда строите вероятностное пространство $(\Omega, \mathbb{F}, \mathbb{P})$, Вы сами вольны задавать все три компоненты тройки, только бы они удовлетворяли своим определениям и эксперименту.
Попробуйте построить два вероятностных пространства -- одно когда в $\Omega$ у нас упорядоченные тройки, то есть когда мы считаем исходы $(6, 5, 4)$ и $(4, 6, 5)$ различимыми, а второе -- когда считаем их неразличимыми. В обеих моделях посчитайте требуемые вероятности -- они должны совпасть.

Заметьте, когда вы строите модель для бросания правильной монетки, у вас множество элементарных исходов это $\{0, 1\}$, Вы не учитываете, например, вероятность того что монетка встала на ребро.
Так и тут, Вы можете изначально сузить ваше множество элементарных исходов до только лишь тех, где на двух гранях выпадают несовпадающие друг с другом числа (а на оставшейся грани - что угодно), так как в такой модели считать будет удобнее.

Если это вызывает подозрение -- постройте ещё третью модель, где в $\Omega$ будут всевозможные результаты бросания и тоже найдите вероятность интересующего события.

[ewert]

NameIsArt в сообщении #1570867 писал(а):

Исходы это _только_ те, где неравны все числа? А остальные броски мы не учитываем?

Дело в том, что Вы с Гмурманом решаете разные задачи. Вы считаете безусловную вероятность того, что на одной грани выпала шестёрка, на двух других -- что-то другое и разное. Гмурман же считает условную вероятность выпадения шестёрки при условии, что все цифры разные (слово "если" намекает именно на условную вероятность).

Другое дело, что он совершенно безобразно сформулировал задачу. Слово "других" после "если" абсолютно неуместно -- описание условия не должно ссылаться на описание интересующего нас события.

(Ну и то, что он считает кости неразличимыми -- несколько легкомысленно; но это всего лишь легкомыслие, а не ошибка.)

-- Вт ноя 22, 2022 13:33:22 --

Sdy в сообщении #1570879 писал(а):

Вы когда строите вероятностное пространство $(\Omega, \mathbb{F}, \mathbb{P})$, Вы сами вольны задавать все три компоненты тройки, только бы они удовлетворяли своим определениям и эксперименту.

Опять же легкомысленная формулировка. Классический пример: бросаем два кубика; какова вероятность того, что выпадут одинаковые цифры?

Можно считать кубики различимыми (пронумерованными), а можно неразличимыми. И то, и другое можно. Только вот во втором случае элементарные исходы окажутся не равновероятными.

[Sdy]

ewert в сообщении #1570881 писал(а):

Опять же легкомысленная формулировка. Классический пример: бросаем два кубика; какова вероятность того, что выпадут одинаковые цифры?

Можно считать кубики различимыми (пронумерованными), а можно неразличимыми. И то, и другое можно. Только вот во втором случае элементарные исходы окажутся не равновероятными.

И что в Вашем примере противоречит тому что сказал я?
Это же как раз пример того, что вероятностное пространство не удовлетворяет эксперименту.
Наверное, стоило развернуть что значит "удовлетворять эксперименту" с точки зрения модели, но я подумал, что лучше подождать реакции/понимания ТС.

[ewert]

Sdy в сообщении #1570885 писал(а):

Это же как раз пример того, что вероятностное пространство не удовлетворяет эксперименту.

Почему? Вполне удовлетворяет. Никто ведь не сказал, что элементарные исходы обязаны быть равновероятными. В теме "классическая вероятность" они подразумеваются равновероятными, но вот именно всего лишь подразумеваются.

[TOTAL]

Если Гмурман считает известным, что выпали три разных грани, то не нужны никакие сочетания и т.д. Шестёрка либо в трёх выпавших, либо в трёх не выпавших (а между этими тройками полное равноправие).

[ewert]

TOTAL в сообщении #1570911 писал(а):

Шестёрка либо в трёх выпавших, либо в трёх не выпавших (а между этими тройками полное равноправие).

Не понял логику. Собственно, Вы утверждаете, что троек с шестёркой ровно столько же, что и троек без шестёрки. Но это вовсе не очевидно.

[Sdy]

ewert,
наверное, я Вас не понимаю.
Мы в обоих случаях задаём тройку же, а не просто $\Omega$.
Ну, оба случая дискретны, поэтому $\mathbb{F} = 2^{\Omega}$, и с $\mathbb{F}$ всё понятно.

Пусть мы бросаем два кубика, рассмотрим две вероятностные модели.

В первом случае у нас $\Omega = \{(a, b) | 1 \leq a, b \leq 6\}$, $\forall A \in \mathbb{F} \ \mathbb{P}(A) = \frac{\#A}{\#\Omega}$, здесь мы поточечно задаём вероятность, равную для каждого элементарного исхода $\frac{1}{\#\Omega}$.
Во втором случае у нас $\Omega$ -- множество всех неупорядоченных пар чисел от $1$ до $6$. По идее можно записать через мультимножества, но словами, наверное понятнее. Если мы тут зададим вероятность равновероятно для каждого элементарного исхода, то получим противоречие с реальностью -- эксперимент нам говорит, что неупорядоченная пара $\{5, 6\}$ выпадает в два раза чаще, чем пара $\{6, 6\}$. Тогда мы можем положить каждому исходу, где числа в паре разные вероятность $2p$, каждому исходу, где числа одинаковые, вероятность $p$, и из условия $\sum_{i=1}^{n}P(w_i)=1$ найти это самое $p = \frac{1}{36}$.

В первой модели вероятность того что выпадут разные числа равна $\frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Во второй модели вероятность того что выпадут разные числа равна $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$.

В обоих случаях вероятностную меру $\mathbb{P}$ мы определили как $\forall A \in \mathbb{F} \ P(A) = \sum_{w \in A}P(w)$, а поточечно вероятность задали по разному, что вроде как ясно.

Формально тут можно много к чему придраться, но по сути дела, что именно Вам тут не нравится?

[EUgeneUS]

ewert
Троек, где всё числа различны, с шестёркой ровно столько же, сколько троек, где все числа различны, но без шестёрки.

[NameIsArt]

Благодарю за ответы! Выходит, что моя ошибка, согласно решению Гмурмана, в том, что есть будто элементарный исход с одинаковыми выпавшими гранями, но не должно быть таких. Только я с трудом это вижу в условии задачи. То есть нужно понимать, что раз вопрос о шестерке, которая отлична от двух других костей, которые тоже отличны между собой, то подразумевается, что множество всех исходов - это различные кости? В общем, буду внимательнее к условиям задач.

Sdy в сообщении #1570879 писал(а):

Попробуйте построить два вероятностных пространства -- одно когда в $\Omega$ у нас упорядоченные тройки, то есть когда мы считаем исходы $(6, 5, 4)$ и $(4, 6, 5)$ различимыми, а второе -- когда считаем их неразличимыми. В обеих моделях посчитайте требуемые вероятности -- они должны совпасть.

Да, Вы правы. Получается одинаковые вероятности. (1) Количество эл. исходов без повторений, с учетом порядка = 5 * 4 * 3 = 120. С шестеркой в этой моделе: (5*4) * 3 позиции шестерки = 60. P = 60/120 = 1/2. (2) Кол-во эл. исходов без повторений, без учета порядка = $C_6^3 = 20$. С шестеркой, без учета порядка: $C_5^2 = 10$. P = 10/20 = 1/2.

[мат-ламер]

NameIsArt в сообщении #1571118 писал(а):

Только я с трудом это вижу в условии задачи.

NameIsArt в сообщении #1571118 писал(а):

В общем, буду внимательнее к условиям задач.

На мой взгляд условие задачи коряво сформулировано.

NameIsArt в сообщении #1570867 писал(а):

если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой

Что значит "если"? Если слово "если" заменить на "и" (или на "а"), то всё понятно. И тогда верно ваше решение с первого поста. А если реально там стоит слово "если", то есть что-то уже произошло, то непонятно, почему используется слово "выпадут", а не "выпали".

[Sdy]

NameIsArt в сообщении #1571118 писал(а):

Только я с трудом это вижу в условии задачи.

Ну формулировка у автора не самая удачная, будто бы он буквы экономил, поэтому Вы всегда можете преподавателю подробно объяснить, какую именно задачу решали Вы, главное же логику решения понять.

Я не знаю, разбирали ли Вы условную вероятность, но в этой задаче ещё заковырка со словом "если". На самом деле под сужением пространства элементарных исходов у меня как раз и зарыта условная вероятность. Если проходили, то можете это попробовать явно проделать, об этом ещё ewert писал.

ewert в сообщении #1570881 писал(а):

Вы считаете безусловную вероятность того, что на одной грани выпала шестёрка, на двух других -- что-то другое и разное. Гмурман же считает условную вероятность выпадения шестёрки при условии, что все цифры разные (слово "если" намекает именно на условную вероятность).

Другое дело, что он совершенно безобразно сформулировал задачу. Слово "других" после "если" абсолютно неуместно -- описание условия не должно ссылаться на описание интересующего нас события.

Только я бы это делал для случая упорядоченного выпадения очков, чтобы работать с равными вероятностями.

NameIsArt в сообщении #1571118 писал(а):

эл. исходов без повторений, с учетом порядка = 5 * 4 * 3 = 120

Ну и арифметику поправить, хотя тут, конечно, понятно, что Вы имели в виду.

[мат-ламер]

То, что задача сформулирована коряво, это понятно. Но тут вообще непонятно, как можно аккуратно сформулировать задачу, чтобы получить ответ равный $1\slash 2$ (как у Гурмана) ? Предположим, что мы решаем такую задачу: "На каких-то двух костях из трёх выпали разные цифры, не равные $6$ . Какова вероятность, что на третьей кости выпадет шестёрка?" Так тут ответ $1 \slash 6$ .

[mihaild]

мат-ламер, "какова вероятность выпадения шестерки при условии что на всех трёх костях выпали разные числа".

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1571441 писал(а):

"какова вероятность выпадения шестерки при условии что на всех трёх костях выпали разные числа".

Это вопрос крайне естественен и понятен. И ответ на него простой - $1 \slash 2$ . Но, ИМХО, он не равносилен тому, что спрашивал Гмурман. Хотя может так до меня и не доходит, что он хотел спросить.