Падающие костяшки домино

[fred1996]

Предположим две костяшки домино стоят вертикально на столе. Они имеют высоту $h$, толщину $t$, и массу $m$.
Расстояние между ближайшими сторонами костяшек $l$. Домино может свободно вращаться вокруг своих краев, но не будет скользить по столу. Предположим, мы даем костяшке резкий импульсный толчок по горизонтали в верхний край так что этого импульса только-только хватает, чтобы опрокинуть костяшку.
Когда костяшка домино падает, она сталкивается с соседней. Столкновение абсолютно неупругое. После столкновения костяшки домино вращаются таким образом, что всегда остаются в контакте. Предположим, что между костяшками домино нет трения, и первая костяшка получила наименьший возможный толчок, так что она опрокинулась. При каком минимальном $l$ упадет вторая костяшка ? Можно считать, что $t, l << h$

[svv]

$\ell=\frac 3 2 t$

[fred1996]

svv



Задачка непростая. Требует скрупулезного отношения к бесконечно малым и хорошего пространственного мышления.
На реальной Олимпиаде на эту задачу отводилось чуть больше получаса. Неудивительно, что из максимально возможных 42 баллов средний показатель оказался 12.
Лично я потратил на задачу целый день, пока получил правильный ответ. Да и то, потому что знал его.
Все время ошибался в оценках. И получал фигню.

[ozheredov]

Условие задачи => ответ задачи => апплодисменты. Тема реально на стиле.

fred1996 в сообщении #1570725 писал(а):

Требует скрупулезного отношения к бесконечно малым

Можете все-таки расписать решение? Лично меня вот этот момент заинтриговал.

[svv]

fred1996, спасибо за интересную задачу. Расскажу в двух словах, как решал. Сначала не предполагал $t,\ell\ll h$ (надеялся решить точно). Обозначим костяшки $K_1$ и $K_2$.

1) Рассмотрим этап, когда костяшки уже в контакте. Пусть $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — углы отклонения $K_1$ и $K_2$ от вертикали. Тогда геометрическая связь $(\ell+t)\cos\varphi_2=h\sin(\varphi_1-\varphi_2)+t$.
Продифференцируем её по времени:
$-(\ell+t)\sin\varphi_2\;\dot\varphi_2=h\cos(\varphi_1-\varphi_2)\;(\dot\varphi_1-\dot\varphi_2)$
Сразу после столкновения $K_2$ вертикальна, $\varphi_2=0$, откуда $\dot\varphi_1=\dot\varphi_2$. Значит, сразу после столкновения угловые скорости костяшек равны.

2) При ударе каждая костяшка действует на другую в течение малого времени с большой силой, направленной горизонтально (нет трения).
Плечо силы $F_{K1\to K2}$ относительно оси вращения $K_2$ равно плечу силы $F_{K2\to K1}$ относительно оси вращения $K_1$.
Поэтому момент импульса, полученный при ударе $K_2$, равен минус моменту импульса, полученному $K_1$ (притом, что момент импульса каждой костяшки вычисляется относительно "своей" оси вращения).
Отсюда с учётом 1) следует, что угловая скорость $K_1$ при ударе уменьшилась вдвое. Следовательно, при ударе ровно половина кинетической энергии рассеялась (четверть осталась у $K_1$ и четверть перешла к $K_2$).

3) Рассмотрим 3 положения костяшек:

$A$: $K_1$ в максимуме потенциальной энергии и только-только начинает падать. $K_2$ в исходном положении.
$B$: костяшки только что соприкоснулись.
$C$: костяшки в контакте достигли максимума суммарной потенциальной энергии. Если они через него перевалят, дальше точно будут падать.
Замечание: если $\ell$ достаточно велико, положения $C$ может не существовать (оно сливается с $B$).
Из 2) получаем, что костяшки преодолеют $C$ и упадут вместе, если $U_C-U_B\leqslant\frac 1 2(U_A-U_B)$. Значению $\ell$, когда его "только-только" хватает для падения обеих костяшек, соответствует знак равенства.
Остаётся найти $U_A,U_B,U_C$.

4) Приближение: предположим, что $t,\ell\ll h$ и угловые скорости костяшек остаются равными (но не постоянными) вcюду от $B$ до $C$. Тогда будет постоянным угол между вектором из оси вращения $K_1$ в её центр масс и вектором из оси вращения $K_2$ в её центр масс. И легко найти максимум $U_C$ суммарной потенциальной энергии во время движения костяшек в контакте, даже не находя положения $C$, при котором этот максимум достигается.

Дальше довольно просто.

[fred1996]

ozheredov
Задачку дал, пока оформлял видеорешение на YouTube.
Что заняло почти два дня на обоих языках.
Кому интересно, ссылка на видео решение тут:
https://www.youtube.com/watch?v=VokMpydv-4s&t=47s
Повторять в Техе то, что уже набирал в OneNote просто нет сил

[profilescit]

В тему домино, могу продолжить с похожей задачей.

Представим бесконечную лестницу с высотой и шириной шага $d$. По середине каждой ступеньки стоит костяшка домино высоты $\sqrt{5} d$ и пренебрежимо малой толщины. Сзади каждой костяшки установлен маленький упор, который не позволит домино проскользнуть назад. Первой костяшке дают достаточный импульс чтобы опрокинуть следующую, которая выше. Найдите конечную угловую скорость костяшек домино после большого количества столкновений.

[fred1996]

profilescit
При абсолютно упругом столкновении и что они не ерзают по ступенькам

(Мой ответ)

$\omega^2=\frac{64}{15}(\sqrt{5}-2)\frac{g}{d}$