Хаос в гладких двумерных системах

[AAMstudent]

demolishka,

простите за долгий ответ: дел много. Однако, копаясь в этой теме, набрел на статью: Levi, Mark. "Nonchaotic behavior in the Josephson junction." Physical Review A 37.3 (1988): 927.

Автор там смотрит на устройство отображения Пуанкаре для джозефсоновского перехода с ёмкостью, который описывается уравнением:
$\beta \ddot{\varphi} + \dot{\varphi} + \sin\varphi = p(t)$,
где $p(t)$ -- произвольная периодическая возмущающая сила, $\beta > 0$ -- параметр.

Далее, оказывается, что для систем со свойством $ \beta < 1/4$ у отображения Пуанкаре этой системы есть притягивающая окружность, что дает отсутствие хаоса. А мой вопрос из первого поста сводится к этому в случае $\beta \to 0$, что экспериментально вполне себе нормально.

Теперь попробую сравнить эту статью с диссером, ссылку на который вы дали. Будто бы на эту статью диссер не ссылается.

[demolishka]

AAMstudent в сообщении #1569913 писал(а):

Однако, копаясь в этой теме, набрел на статью

В этой работе доказывается существование инвариантной глобально притягивающей окружности для отображения Пуанкаре. Для Вашей системы это очевидно, т.к. отображение Пуанкаре и есть отображение окружности на себя. Каким образом отсюда следует отсутствие хаоса? Ну представьте себе много-много длинных периодических орбит (пусть и одного периода), устойчивых и неустойчивых. А остальные точки отталкиваются от неустойчивых периодических орбит и притягиваются к устойчивым. Это практически хаос. А если продолжить этот процесс, то он и возникнет.

Я правда еще не понимаю, с чего там взяли (строго это нигде не доказывается), что отображение Пункаре сохраняет ориентацию и можно применять результаты теории вращений, рисуя языки Арнольда и тд. (в самой работе этот момент выражен неформально). Хотя теорию вращений можно развивать и для не монотонных отображений окружности, правда там много гадостей получается.

Кроме того, там есть интересное замечание на счет ссылки 13 (выкачивается тут), где хаос численно обнаруживается при малых $\beta$. Автор исходной работы выражает сомнение, что там не учтены какие-то дополнительные силы, но как не трудно видеть, система по ссылке 13 входит в исследуемый автором класс. Так что...