Произведение линейных операторов

[ohart]

Наверное глупый вопрос, но я торможу:
Есть два невырожденных линейных оператора $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Пусть в некотором базисе их матрицы это $A$ и $B$. Поскольку эти матрицы невырожденные, то $AB\sim BA$. Тогда получается, что эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$.
Где я ошибаюсь?

[svv]

А что означает символ $\sim$ в записи $AB\sim BA$?

[ohart]

svv в сообщении #1570034 писал(а):

А что означает символ $\sim$ в записи $AB\sim BA$?

Подобие матриц. $A \sim A' \Leftrightarrow \exists B: A'=B^{-1}AB$

[mihaild]

ohart в сообщении #1570031 писал(а):

эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$

Вот здесь ошибка. Если у оператора $A$ в базисе $(e_1, e_2)$ такая же матрица, как у оператора $B$ в базисе $(g_1, g_2)$, то это не означает, что $A = B$.
При фиксированном базисе есть биекция между операторами и матрицами, причем сложение и умножение матриц соответствует сложению и композиции операторов. Но в разных базисах у одного и того же оператора разные матрицы (хотя и связанные между собой; но эта связь другая, чем, например, у матриц билинейных форм - оператор это тензор ранга $(1, 1)$, а билинейная форма - ранга $(2, 0)$, этим же объясняется, что операторы перемножать можно, а билинейные формы нельзя).

[ohart]

mihaild в сообщении #1570036 писал(а):

ohart в сообщении #1570031 писал(а):

эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$

Вот здесь ошибка. Если у оператора $A$ в базисе $(e_1, e_2)$ такая же матрица, как у оператора $B$ в базисе $(g_1, g_2)$, то это не означает, что $A = B$.

Да, конечно, спасибо. Действительно глупый вопрос был.

Цитата:

При фиксированном базисе есть биекция между операторами и матрицами, причем сложение и умножение матриц соответствует сложению и композиции операторов. Но в разных базисах у одного и того же оператора разные матрицы (хотя и связанные между собой; но эта связь другая, чем, например, у матриц билинейных форм - оператор это тензор ранга $(1, 1)$, а билинейная форма - ранга $(2, 0)$, этим же объясняется, что операторы перемножать можно, а билинейные формы нельзя).

Спасибо.