Числа близнецы

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1569445 писал(а):

Точно не здорово, потому что вы доказали, что доля близнецов среди всех чисел константная:)

А вот и нет, а вот и нет. Я доказал, что доля всех близнецов ограничена сверху остаточным членом той суммы, умноженной на $x^2$, а он стремится к $0$ и скорее всего как раз со скоростью $\frac{1}{\ln{(p)}^2}$.

mihaild в сообщении #1569445 писал(а):

Euler-Maskerony в сообщении #1569427 писал(а):

Белых столбцов на предыдущих итерациях у нас $1 \cdot 1 \cdot 3=3$(

Вот это непонятно что значит и откуда взялось. До того всё время белых столбцов было пропорционально $p^2$, а тут вдруг константа.

Это я имею в виду белых уникальных столбцов, т.е. это столбцы $(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3)$. А всего столбцов $30$. То есть, т.к. $7$ взаимопросто со всеми предыдущими простыми числами, то значит, закрашивая каждые $7$ столбцов столбец, мы закрашиваем каждый раз новый столбец (до тех пор, пока не закрасим $30$ столбцов, т.к. дальше все повторяется). Вот.

-- 09.11.2022, 13:21 --

mihaild в сообщении #1569445 писал(а):

Вот это непонятно что значит и откуда взялось. До того всё время белых столбцов было пропорционально $p^2$, а тут вдруг константа.

Там поправить надо, что $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$ не надо на $2$ умножать, очевидно, т.к. на первой итерации у нас 1 запрещенный остаток. Тогда все сходится.

[mihaild]

Тогда я не понял, что вы где с чем складываете, что красите и т.д.
Что я вроде бы понял. Вы берете числа от $1$ до $p^2$ и для каждого нечетного простого числа вычеркиваете числа, дающие остаток $0$ или $-2$ по его модулю. Очевидно что доля таких чисел для простого $p$ примерно $\frac{2}{p}$. Дальше я ничего не понимаю, что за $s$, что за четырехзначные числа в знаменателе и т.д.

Euler-Maskerony в сообщении #1569427 писал(а):

$s < p^2 \cdot \sum_{i=1}^{p} \frac{1}{i\ln{i}^2} = c $ сходится и скорее всего к числу $< \frac{1}{6}$

А что тут на самом деле предполагалось? Если $\sum_{i=1}^p \frac{1}{i (\ln i)^2} < \frac{1}{6}$, то это, как несложно убедиться, совсем неправда: при $i = 1$ в знаменателе вообще нуль, а при $i = 2$ - число, меньшее единицы.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1569453 писал(а):

Тогда я не понял, что вы где с чем складываете, что красите и т.д.
Что я вроде бы понял. Вы берете числа от $1$ до $p^2$ и для каждого нечетного простого числа вычеркиваете числа, дающие остаток $0$ или $-2$ по его модулю. Очевидно что доля таких чисел для простого $p$ примерно $\frac{2}{p}$.

Да. Я хотел оценить количество вычеркнутых столбцов. На первой итерации мы вычеркиваем $\frac{1}{2}$ от всего количества, на второй теоретический максимум $\frac{1}{3}$ также от всех столбцов, на третьей $\frac{1}{5}$ от всех и т.д. Если сложить все эти доли, то получится $\ln{\ln{p}}$. Это больше $1$, поэтому нужна более точная оценка. Я предлагаю каждое слагаемое в сумме умножить на долю белых векторов, среди всех возможных. Вот как раз $s$ - это и есть количество вычеркнутых столбцов, посчитаных таким образом.

mihaild в сообщении #1569453 писал(а):

А что тут на самом деле предполагалось? Если $\sum_{i=1}^p \frac{1}{i (\ln i)^2} < \frac{1}{6}$, то это, как несложно убедиться, совсем неправда: при $i = 1$ в знаменателе вообще нуль, а при $i = 2$ - число, меньшее единицы.

Тут я просто хотел показать, что $s$ сходится, а следующим сообщение показал, что если мы составим его по-хорошему, то получим то, что $s \rightarrow p^2$. Это значит, что количество белых столбцов $o(p^2)$. Но тут опять, как я понимаю, возникает ситуация, что я не могу доказать, что векторы остатков идут равномерно. Т.е. опять скорее всего не так все.

[mihaild]

Euler-Maskerony в сообщении #1569462 писал(а):

Я предлагаю каждое слагаемое в сумме умножить на долю белых векторов, среди всех возможных.

Но это эквивалентно предположению, что для простого числа $t$, доля чисел в вашем интервале, делящихся на $t$, одинакова среди делящихся на какое-то меньшее простое и не делящихся. Это нужно доказывать.

[Euler-Maskerony]

mihaild в сообщении #1569464 писал(а):

Это нужно доказывать.

У вас есть идеи?

[mihaild]

Euler-Maskerony в сообщении #1569478 писал(а):

У вас есть идеи?

Есть. Бросить это занятие как бесперспективное - эта область исхожена очень плотно, шансы, что элементарными методами можно получить настолько сильные результаты, минимальны.