Модули над кольцами главных идеалов

[xagiwo]

Наш преподаватель по алгебре доказывал, что конечно порождённая абелева группа без кручения свободна, способом, близким к тому, который я изложу ниже (я его изуродовал в угоду своему пониманию и не писал половину деталей, ибо лень). Мне интересно, в какой книге можно прочитать такое доказательство (можно даже не для групп, а сразу для модулей над кольцами главных идеалов).

Док-во в два шага:
1. подгруппа свободной группы есть свободна (похоже, будто это верно даже для свободных групп с бесконечным базисом)

(''Доказательство'')

Пусть в свободной группе задан базис $e_1,...,e_n$. Док-во индукцией по $n$ с очевидной базой $n=0$.
Пусть $A \subset \langle e_1,...,e_n \rangle$. По предположению индукции в $A \cap \langle e_1,...,e_{n-1} \rangle$ есть базис $a_1,...,a_m$. Далее, рассмотрим множество $\{x_n \in \mathbb{Z} \mid \exists x_1,...,x_{n-1}{:}\; x_1e_1 + ... + x_ne_n \in A\}$. Если сие множество есть ${0}$, то $a_1,...,a_m$ — базис в $A$. Иначе оно — идеал в $\mathbb{Z}$ вида $\langle \bar{x}_n \rangle$, $\bar{x}_n \neq 0$. Тогда найдётся $a_{m+1} \in A$ вида $x_1e_1 + ... + x_{n-1}e_{n-1} + \bar{x}_ne_n$. Легко проверяется, что $a_1,...,a_{m+1}$ — базис в $A$.

2. конечно порождённая абелева группа без кручения вкладывается в свободную.

(''Доказательство'')

Пусть эта группа порождена эл-тами $e_1,...,e_n$. Выберем максимальный линейно независимый (над $\mathbb{Z}$) поднабор $e_{i_1},...,e_{i_m}$. Тогда для любого $e_k$ есть линейная зависимость $\lambda_k e_k = \mu_{k1}e_{i_1}+...+\mu_{km}e_{i_m}$. Отсюда следует, что отображение $x \mapsto (\lambda_1 \cdot ... \cdot \lambda_n) x$ отображает $\langle e_1,...,e_n \rangle$ внутрь свободной группы $\langle e_{i_1},...,e_{i_m} \rangle$. То, что это отображение — вложение, следует из того, что группа — без кручения.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- пжлст.озагл.тем.без.сокращ;


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.