Наш преподаватель по алгебре доказывал, что конечно порождённая абелева группа без кручения свободна, способом, близким к тому, который я изложу ниже (я его изуродовал в угоду своему пониманию и не писал половину деталей, ибо лень).
Мне интересно, в какой книге можно прочитать такое доказательство (можно даже не для групп, а сразу для модулей над кольцами главных идеалов).
Док-во в два шага:
1. подгруппа свободной группы есть свободна (похоже, будто это верно даже для свободных групп с бесконечным базисом)
(''Доказательство'')
Пусть в свободной группе задан базис

. Док-во индукцией по

с очевидной базой

.
Пусть

. По предположению индукции в

есть базис

. Далее, рассмотрим множество

. Если сие множество есть

, то

— базис в

. Иначе оно — идеал в

вида

,

. Тогда найдётся

вида

. Легко проверяется, что

— базис в

.
2. конечно порождённая абелева группа без кручения вкладывается в свободную.
(''Доказательство'')
Пусть эта группа порождена эл-тами

. Выберем максимальный линейно независимый (над

) поднабор

. Тогда для любого

есть линейная зависимость

. Отсюда следует, что отображение

отображает

внутрь свободной группы

. То, что это отображение — вложение, следует из того, что группа — без кручения.