Касательная плоскость к поверхности

[Slow Cat]

Здравствуйте.
Преподаватель дал задание - записать касательную плоскость к поверхности, заданной неявно: F(x,y,z)=0.
Вектор нормали он записал как $\overrightarrow{n} = \frac {\nabla F}{|\nabla F|}$
Как в таком случае выглядит касательная плоскость?
Искала по многим сайтам и справочникам, но там для такого вектора нормали не записана касательная плоскость. А там, где дан весь трехгранник Френе - как раз касательная имеет такой вид, как представленный здесь вектор нормали.

[Brukvalub]

Возьмите точку на поверхности и напишите уравнение плоскости, проходящей через эту точку и имеющей известный Вам нормальный вектор.

[Slow Cat]

Получается, у меня есть вектор нормали $\overrightarrow{n_0} = (n_{10},n_{20},n_{30})$, и касательная плоскость $(\tau_x,\tau_y,\tau_z)$
тогда условие их перпендикулярности:
$\frac {\tau_x}{n_{10}}$ = $\frac {\tau_y}{n_{20}}$ =$ \frac {\tau_z}{n_{30}}$
Но из этой системы не удается выразить компоненты \tau, чего требует задача.

[Brukvalub]

См. http://www.artsoft.ru/ag_ru.hlp/Manualspr/211m.htm

[ewert]

Slow Cat писал(а):

Получается, у меня есть вектор нормали $\overrightarrow{n_0} = (n_{10},n_{20},n_{30})$, и касательная плоскость $(\tau_x,\tau_y,\tau_z)$
тогда условие их перпендикулярности:
$\frac {\tau_x}{n_{10}}$ = $\frac {\tau_y}{n_{20}}$ =$ \frac {\tau_z}{n_{30}}$
Но из этой системы не удается выразить компоненты \tau, чего требует задача.

Полная путаница. Во-первых, $(\tau_x,\tau_y,\tau_z)$ -- это не плоскость, а какой-то вектор. Во-вторых, буквой тау обычно обозначают касательные векторы, но они при описании плоскости неестественны, т.к. неоднозначны. В-третьих, Вы написали условие не ортогональности, а параллельности. В-четвёртых, никаких условий вообще писать не нужно -- нормальный вектор у Вас уже есть, и этого вполне достаточно. В-пятых, непонятно, зачем Вашему преподавателю понадобилось этот вектор ещё и нормировать (т.е. делить на свою длину) -- если вдруг возникнет такая необходимость, это всегда можно сделать в любой момент.

[Slow Cat]

brukvalub, спасибо:))

Добавлено спустя 18 минут 20 секунд:

ewert, нормаль к касательной плоскости и нормаль к поверхности должны быть коллинеарны, значит, их векторное произведение должно равняться нулю. (ну, это действительно было лишним:))
Первоначальным заданием было найти вектор касательной в каком-то направлении, потом - касательную плоскость.
Значит, если общее уравнение плоскости - это Ax+By+Cz+D=0, то уравнение касательной плоскости - n_1x+n_2y+n_3z+D=0?

[ewert]

Slow Cat писал(а):

Значит, если общее уравнение плоскости - это Ax+By+Cz+D=0, то уравнение касательной плоскости - n_1x+n_2y+n_3z+D=0?

не понимаю вопроса: второе уравнение -- просто более конкретная запись первого. То, что коэффициенты общего уравнения суть координаты вектора нормали -- это святое.

[Slow Cat]

ну да, просто у меня с геометрией проблемы, поэтому для меня это не так очевидно%) спасибо)