Подобрать базис для полей форм

[none]

В некоторой области $U$ в $R^n$ заданы поля симетричных форм $H$, $Q$. $H$ в каждой точке положительно определена. В каждой точке можно выбрать ортогональный относительно $H$ базис, в котором $Q$ имеет диагональный вид.

Верно ли, что в некоторой окресности каждой точки можно задать поля $e_1, ... ,e_n$ которые в каждой точке образуют базис с подобными свойствами?

Интуитивно кажется, что верно. Но доказывать через теорему о неявной функции не получается. Например если в некоторой точке $Q = k \cdot H$, то в ней подойдет любой ортогональный базис, а в соседних - возможно далеко не каждый. Что делать?

[Brukvalub]

none в сообщении #156884 писал(а):

В каждой точке можно выбрать ортогональный относительно $H$ базис, в котором $Q$ имеет диагональный вид.

none в сообщении #156884 писал(а):

Верно ли, что в некоторой окресности каждой точки можно задать поля $e_1, ... ,e_n$ которые в каждой точке образуют базис с подобными свойствами?

Разве второе утверждение не является немедленным следствием первого?

[ewert]

не является. По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.

Если в данной точке спектр $Q$ (обобщённый, т.е. относительно $H$) невырожден, то наверняка можно. В точках вырождения -- хрен его знает, вовсе не уверен.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #156907 писал(а):

По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.

Так это только Ваши домыслы.... Я же отвечал точно на заданный вопрос.

[none]

Brukvalub писал(а):

ewert в сообщении #156907 писал(а):

По идее требуется, чтобы эти поля менялись непрерывно.

Так это только Ваши домыслы.... Я же отвечал точно на заданный вопрос.

Ну естественно предполагалась некоторая гладкость. Например $C^1$

[Gafield]

Если поля предполагаются гладкими, то уже для одна форма совсем необязательно будет диагонализируема гладким преобразованием. Пусть форма - метрика на области. Для $n=2$ локально это возможно - конформные координаты, а при $n\ge3$ уже нет. Можно добиться того, чтобы в точке матрица была единичная, а ее первые производные равны нулю. Это называется нормальные координаты. На большее, чтобы, скажем, вторые производные в точке обращались в нуль, параметров уже не хватает.