Энергия взаимодействия двух шаров

[cema2643]

Здравствуйте!

Есть два шара, которые заряжены противоположны. Шары сдвинуты на расстояние d, которое много меньше их радиусов R. Найти энергию взаимодействия.

Рассматривал, что шар 2 находится в поле шара 1. Известен потенциал шара 1, тогда можно было бы разбить шар 2 на сферы, где потенциал одинаковый, и проинтегрировать. Это бы отлично сработало, будь центры шаров на расстоянии большем, чем $2R$.

Но шары пересекаются. И тогда разбиение на сферы не сработает - у некоторых сфер разбиения одна часть будет находится внутри шара 1, а другая выходить за его пределы. То есть потенциал на сфере разбиения не будет постоянен.

Как еще можно подступиться к этой задаче?

[мат-ламер]

1. Рассмотрите в первом шаре тонкий слой, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от центра второго шара.
2. Найдите его площадь.
3. Найдите его потенциал относительно второго шара.
4. Проинтегрируйте по всем таким слоям.

-- Вт ноя 01, 2022 21:07:08 --

cema2643 в сообщении #1568609 писал(а):

Рассматривал, что шар 2 находится в поле шара 1. Известен потенциал шара 1, тогда можно было бы разбить шар 2 на сферы, где потенциал одинаковый, и проинтегрировать. Это бы отлично сработало, будь центры шаров на расстоянии большем, чем 2R.

Сейчас обнаружил, что вы были на правильном пути. Вы разбиваете шар на слои с постоянным потенциалом. Постоянный потенциал означает одинаковое расстояние до центра другого шара. Всё должно сработать.

-- Вт ноя 01, 2022 21:14:01 --

cema2643 в сообщении #1568609 писал(а):

Но шары пересекаются. И тогда разбиение на сферы не сработает - у некоторых сфер разбиения одна часть будет находится внутри шара 1, а другая выходить за его пределы.

Это не произойдёт.

[cema2643]

мат-ламер в сообщении #1568611 писал(а):

Это не произойдёт.

Согласен. Еще раз нарисовал картину. Действительно, все равно потенциал будет одинаковый на всей поверхности разбиения.

Есть ли еще идеи, как решить эту задачу?

[Ende]

cema2643
Даже небольшие обозначения нужно набирать в TeX: не 2R, а $2R$. В этой теме поправил сам, в следующий раз поедем в Карантин.

[мат-ламер]

cema2643 в сообщении #1568613 писал(а):

Есть ли еще идеи, как решить эту задачу?

Новых идей нет, но есть замечание. Решение задачи в общем виде может представлять сложность и ответа в виде короткой красивой формулы может и не быть. Однако в условии сказано:

cema2643 в сообщении #1568609 писал(а):

Шары сдвинуты на расстояние d, которое много меньше их радиусов R.

Возможно при решении поможет разложение некоторых величин в ряд по малому параметру $d \slash R$ .

[DimaM]

cema2643
Можно заметить, что внутри поле будет однородное, а снаружи - дипольное. Поле в любой точке можно найти, а дальше найти его энергию интегрированием по объему.

-- 02.11.2022, 15:54 --

Другой способ - найти потенциал на поверхности шара (имея в виду, что поле внутри однородное) и посчитать энергию зарядов в этом потенциале.

[cema2643]

DimaM в сообщении #1568655 писал(а):

cema2643
Можно заметить, что внутри поле будет однородное, а снаружи - дипольное. Поле в любой точке можно найти, а дальше найти его энергию интегрированием по объему.

Там же еще будут 2 области по краям. Ими просто пренебрегаем?

https://pastenow.ru/009aaa07c7f1dcbc178a8f4e9f0f8b18

[DimaM]

cema2643 в сообщении #1568681 писал(а):

Там же еще будут 2 области по краям. Ими просто пренебрегаем?

Да, они очень тонкие по условию.

[cema2643]

DimaM в сообщении #1568655 писал(а):

cema2643
Можно заметить, что внутри поле будет однородное, а снаружи - дипольное. Поле в любой точке можно найти, а дальше найти его энергию интегрированием по объему.

Там же получится интеграл по всему объему пространства, за исключением области пересечения шаров? Внутри интеграла будет напряженность поля диполя? Не совсем представляю, как такой сложный интеграл считать.

DimaM в сообщении #1568655 писал(а):

cema2643
Другой способ - найти потенциал на поверхности шара (имея в виду, что поле внутри однородное) и посчитать энергию зарядов в этом потенциале.

Потенциал же не будет одинаковым на поверхности шара? Он будет уменьшаться от одного края к другому?

[DimaM]

cema2643 в сообщении #1568742 писал(а):

Там же получится интеграл по всему объему пространства, за исключением области пересечения шаров?

В области пересечения тоже поле есть, но там интеграл попроще.

cema2643 в сообщении #1568742 писал(а):

Не совсем представляю, как такой сложный интеграл считать.

Ну хоть напишите его, а там поглядим.

cema2643 в сообщении #1568742 писал(а):

Потенциал же не будет одинаковым на поверхности шара? Он будет уменьшаться от одного края к другому?

Потенциал будет зависеть от полярного угла, разумеется.

[cema2643]

DimaM в сообщении #1568771 писал(а):

Потенциал будет зависеть от полярного угла, разумеется.

У меня вот такое решение получилось. Могли бы взглянуть?
https://disk.yandex.ru/i/Skm2jJLZoSfsuQ

[DimaM]

cema2643 в сообщении #1568796 писал(а):

У меня вот такое решение получилось. Могли бы взглянуть?

Напишите здесь.

[Ende]

cema2643
Решение нужно писать прямо здесь. Формулами. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Не бойтесь формул, они не кусаются.