Сходимость ряда

[Padawan]

Пусть $0\leqslant \alpha\leqslant 1$. Доказать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{e^{i n^\alpha}}{n^\beta}$ сходится тогда и только тогда, когда $\beta>1-\alpha$.

[RIP]

Расходимость делается легко через критерий Коши. Пусть $\alpha\in(0,1)$, $\beta\leqslant1-\alpha$. Тогда при $N\to\infty$

$$\sum_{(2\pi N)^{1/\alpha}\leqslant n\leqslant(\frac{\pi}{3}+2\pi N)^{1/\alpha}}\frac{\cos n^{\alpha}}{n^{\beta}}\asymp N^{1/\alpha-1}\cdot\frac{1}{N^{\beta/\alpha}}\not\to0.$$

Сходимость нужно считать.

[RIP]

Пусть $\alpha>0$, $\alpha+\beta>1$.
Чтобы не изобретать велосипед, можно воспользоваться готовыми результатами. В данном случае хватает неравенства Кузьмина–Ландау (см. также), из которого следует

$$S(x):=\sum_{n\leqslant x}\exp(\mathrm{i}n^{\alpha})=O(x^{1-\alpha}).$$

Применяя преобразование Абеля, получаем

$$\sum_{n\leqslant x}n^{-\beta}\exp(\mathrm{i}n^{\alpha})=S(x)x^{-\beta}+\beta\int_{1}^{x}S(t)t^{-\beta-1}\mathrm{d}t.$$

Здесь $S(x)x^{-\beta}=O(x^{1-\alpha-\beta})=o(1)$ при $x\to+\infty$. Кроме того, $S(t)t^{-\beta-1}=O(t^{-\alpha-\beta})$, так что несобственный интеграл $\int_{1}^{+\infty}S(t)t^{-\beta-1}\mathrm{d}t$ сходится, поэтому и ряд сходится.

[Padawan]

Мое решение основано на формуле суммирования Эйлера-Маклорена. Из нее следует, что если $f(x)$ стремится к нулю вместе со своими производными $f'(x),\ldots, f^{(p-1)}(x)$ при $x\to+\infty$, а интеграл $\int\limits_{1}^{+\infty}|f^{(p)}(x)|dx$ сходится, то сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ равносильна сходимости интеграла $\int\limits_{1}^ {+\infty} f(x) dx$.

Wikipedia писал(а):

$$ \sum_{i=m}^n f(i) - \int_m^n f(x)\,dx &==\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + $$ $$ +\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} + \int_m^n f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}\,dx.$$

У нас $f(x)=\frac{e^{ix^\alpha}}{x^\beta}$ этим условиям при некотором $p$ удовлетворяет, так как при каждом дифференцировании числителя вылазит множитель $x^{\alpha-1}$ с $\alpha-1<0$ и рано или поздно производная будет представлять собой линейную комбинацию функций типа нашей, у которых в знаменателе показатель $>1$. А интеграл $\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{e^{ix^\alpha}}{x^\beta}dx$ на сходимость легко исследовать, сделав замену $x^\alpha=t$.

[RIP]

Логично рассмотреть случай $\alpha>1$. Например, предлагаю доказать, что если $\alpha\in(1,2)$, то ряд сходится при $\beta>\alpha/2$ и расходится при $\beta\leqslant1-\alpha/2$. (Как быть при $\beta\in(1-\alpha/2,\alpha/2]$, я не знаю.)