2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Супремум
Сообщение27.10.2022, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Найти точную верхнюю грань функции $$\frac{\sqrt{xy}}{z+1}+\frac{\sqrt{yz}}{x+1}+\frac{\sqrt{zx}}{y+1}$$ при условиях
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2; \quad x, y, z >0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение28.10.2022, 00:05 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
На $\sqrt2$ похоже, когда две переменные равны и стремятся к нулю, а третья в бесконечность; но поди ж докажи...

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение28.10.2022, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$\frac{\sqrt{xy}}{z+1}+\frac{\sqrt{yz}}{x+1}+\frac{\sqrt{zx}}{y+1} \le
\sqrt{\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}} \times \sqrt{1-2xyz}
$$
Это Коши — Буняковского

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение29.10.2022, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
TOTAL, круто!
Первый корень - это расстояние от нуля до точки $x+y+z=2; \,\, 0<x,y,z<1,$ а второй просто
меньше единицы.
У меня тоже К-Б, но по-другому и слегка длиннее, ибо геометрию прохлопал.

Хорошо бы теперь $\inf$ найти. Мне кажется, что $\inf=1.$ но не вижу как это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение29.10.2022, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
bot в сообщении #1568103 писал(а):
Первый корень - это
А у меня вот что первый корень
$$\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2} < \frac{1}{(z+1)}+\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{(y+1)}=2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение29.10.2022, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Блин :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение30.10.2022, 18:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Удалил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение31.10.2022, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
bot в сообщении #1568103 писал(а):
Мне кажется, что $\inf=1.$

Wollfram подтверждает
Лагранжем проверить что-то не тянет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение01.11.2022, 10:00 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
bot в сообщении #1568436 писал(а):
Лагранжем проверить что-то не тянет.

Можно без Лагранжа. Но придется немного повозиться.
Сначала замена
$$
x \to 1/x, \quad y \to 1/y, \quad z \to 1/z.
$$
Тогда условие получает вид
$$
\frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} = 2. \eqno{(1)} 
$$
Или по другому
$$
\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} = 1. \eqno{(2)} 
$$
Кроме того, имеет место тождество (легко следует из выкладок в предыдущих комментариях)
$$
x + y + z = xyz - 2.
$$
Откуда легко получить, что
$$
xyz \leqslant 8. \eqno{(3)}   
$$
А сама целевая функция
$$
F = \frac{x}{\sqrt{yz}(x + 1)} + \frac{y}{\sqrt{xz}(y + 1)} + \frac{z}{\sqrt{yx}(z + 1)}. 
$$
От корней избавляемся по AM-GM
$$
F \geqslant \frac{2x}{(y + z)(x + 1)} + \frac{2y}{(x + z)(y + 1)} + \frac{2z}{(y + x)(z + 1)}. 
$$
Или по другому
$$
F / 4 \geqslant \frac{x / 2}{(y + z)(x + 1)} + \frac{y / 2}{(x + z)(y + 1)} + \frac{z  / 2}{(y + x)(z + 1)}. 
$$

Далее, функция
$$
G(x, y, z) = \frac{1}{x + y + z}
$$
выпуклая. В силу (1) имеем выпуклую комбинацию
$$
\frac{x / 2}{x + 1} + \frac{y / 2}{y + 1} + \frac{z / 2}{z + 1} = 1. 
$$
Применяем неравенство Йенсена к $G(x, y, 0)$, $G(x, 0, z)$, $G(0, y, z)$. После нехитрых преобразований (с помощью (2)) получаем
$$
F / 4 \geqslant \frac{1}{\frac{{1\over 2} xz}{1 + z} + \frac{{1\over 2} xz}{1 + x} + \dots} = 
\frac{1}{\frac{{1\over 2} xzy}{1 + y}  + \dots} = \frac{1}{{1\over 2} xzy}.
$$
И, в силу (3)
$$
F / 4 \geqslant 1 / 4.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение01.11.2022, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Как и полагается, sup одолел inf , хотя я и постарался затруднить ему задачу. :D
Спасибо.

Дело в том, что исходную задачу мне предложили в виде $f(x,y,z)=F(\frac 1x, \frac 1y, \frac 1z)<\sqrt 2 $ при соотношении (2) и положительности переменных.

Получилось $f(x,y,z)\leqslant \ldots\leqslant \sqrt2 \cdot \sqrt{1-\frac4{xyz}}<\sqrt2$.

Тут естественно возник вопрос точности оценки, с чем я справился как waxtep. Переменные заменил на обратные в целях упрощения выкладок.

PS. :oops: С этими заменами $f$ и $F$ путаю.
Теперь вроде верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение01.11.2022, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
sup в сообщении #1568535 писал(а):

$$
x + y + z = xyz - 2.
$$
Откуда легко получить, что
$$
xyz \leqslant 8. \eqno{(3)}   
$$

$$x=y=3, \;\; z=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение01.11.2022, 13:38 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, дыра. Вот вить хотел написать доказательство. Там бы все и вылезло.
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение04.11.2022, 20:19 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
bot в сообщении #1568103 писал(а):
Хорошо бы теперь $\inf$ найти.
Пусть

$\frac{1}{2(1+x)}+\frac{1}{2(1+y)}-\frac{1}{2(1+z)}=a$

$\frac{1}{2(1+x)}-\frac{1}{2(1+y)}+\frac{1}{2(1+z)}=b$

$-\frac{1}{2(1+x)}+\frac{1}{2(1+y)}+\frac{1}{2(1+z)}=c$

Тогда $a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0$, $a+b+c=1$,

$\frac{\sqrt{yz}}{x+1}+\frac{\sqrt{zx}}{y+1}+\frac{\sqrt{xy}}{z+1}=(a+b)\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+(b+c)\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}+(c+a)\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}=$

$=\frac{ab(a+b)}{\sqrt{a(b+c)\cdot b(a+c)}}+\frac{bc(b+c)}{\sqrt{b(c+a)\cdot c(b+a)}}+\frac{ca(c+a)}{\sqrt{c(a+b)\cdot a(c+b)}}\geq $

$\geq \frac{2ab(a+b)}{a(b+c)+b(a+c)}+\frac{2bc(b+c)}{b(c+a)+c(b+a)}+\frac{2ca(c+a)}{c(a+b)+a(c+b)}=$

$=(a+b+c)+\frac{abc\left((a-b)^2(3ab+c^2)+(b-c)^2(3bc+a^2)+(c-a)^2(3ca+b^2)\right)}{\left(a(b+c)+b(a+c)\right)\left(b(c+a)+c(b+a)\right)\left(c(a+b)+a(c+b)\right)}\geq 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение05.11.2022, 04:51 
Заслуженный участник


22/11/10
1183

(Оффтоп)

Фига-се. Вот что бывает, когда за дело берутся профессионалы. Не то что некоторые. :oops: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Супремум
Сообщение05.11.2022, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Это же какое нахальство иметь надо, что на такое сподвигнуться! :shock: :D
Всё прозрачно, за исключением последнего равенства - с ним мой ущербный вольфрам за стандартное время не справляется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group