2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 04:58 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Пока готовил задачи первого тура всеамериканской Олимпиады, наткнулся на одну, которая обратила на себя мое пристальное внимание.
Пусть у нас вокруг планеты вращаются два спутника.
В какой-то момент они оба находятся на расстоянии $a$ От планеты. Причём первый спутник имеет скорость $v_0$ и вращается по круговой орбите. А второй спутник имеет в этой же точке скорость $\frac{1}{2}v_0$ и это точка его максимального удаления от планеты.
Найти минимальное расстояние этого спутника от планеты.

(условие от меня лично)

надо уложиться в 3 минуты

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 07:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4037

(Оффтоп)

Вроде, получается $r_{\min}=\dfrac{a}{7}$. В предположении, что $a$ обозначает расстояние от спутника до центра планеты.
(Вот только в 3 минуты я не уложился. Вообще, решать "на скорость" не умею, да и не люблю :-( )

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 08:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Mihr
Ответ правильный, но скорее всего путь вы выбрали длинный, раз не уложились в 3 минуты.
На этой олимпиаде школьникам даётся 75 минут на 25 задач.
Правда эта была самая нетривиальная.
Подсказка. Надо кое что знать или уметь применить про эллиптические орбиты в этой задаче.
Я ее раньше тоже решал через энергии и угловые моменты. И это конечно не три минуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4037
fred1996 в сообщении #1558988 писал(а):
Надо кое что знать или уметь применить про эллиптические орбиты в этой задаче.

Заинтриговали. Подумаю ещё. Надеюсь, обсуждение задачи будет, и Вы раскроете свой "секрет". Но не торопитесь с этим, дайте подумать.

-- 01.07.2022, 09:20 --

Можно вывести отношение секториальных скоростей двух спутников двумя способами: через их скорости в указанный (начальный) момент времени и через эксцентриситет эллиптической орбиты 2-го спутника. Приравняв эти выражения, находим искомый эксцентриситет: он оказывается равным $\varepsilon=\dfrac{3}{4}$. Отсюда и находится минимальное расстояние от 2-го спутника до центра планеты. Рекомендуемое Вами решение похоже на это? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 09:51 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Mihr
Нет. У меня попроще. Без $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 09:56 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Спойлер)

Стандартный способ - использование интеграла энергии в виде $v^2 = GM\,\left(\frac{2}{a}-\frac{1}{a_0}\right)$, где $a_0$ - это большая полуось (обозначения в условии неудобные). В подходящих единицах отсюда $\frac{1}{4}=\left(2-\frac{1}{a_0}\right)$, откуда $a_0=4/7$ и $r_\pi=1/7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 10:59 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Pphantom

(мое решение)

Ну да, я использовал похожее соображение.
Полная энергия ведь зависит только от большой полуоси:
$E=-G\frac{mM}{2a}$
Для круговой орбиты первого спутника потенциальная энергия $P=-G\frac{mM}{a}$, кинетическая энергия $K=G\frac{mM}{2a}$
Для второго же спутника в той же точке потенциальная энергия та же, но кинетическая энергия в 4 раза меньше. То есть $G\frac{mM}{8a}$
То есть полная будет $-\frac{7}{8}G\frac{mM}{a}$.
Но с другой стороны она равна $-G\frac{mM}{a+b}$, где $b$ - минимальное расстояние. Отсюда сразу следует ответ:
$b=\frac{1}{7}a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение01.07.2022, 12:14 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
fred1996, ну да, просто изложенный выше прием - типовой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про спутники
Сообщение31.10.2022, 23:46 
Аватара пользователя


22/07/22
643
fred1996
Т.е. нужно какие-то факты, завязанные на оси знать? А без этого? :roll:
У меня вышло так - сведем задачу к одномерной, перейдя в систему отсчета радиуса-вектора, тогда на первый спутник действуют уравновешивающие силы $\frac{GMm}{{a_0}^2}=\frac{L^2}{{a_0}^3}$, а для второго спутникника уравновешивающая сила будет в точке $\frac{GMm}{r_0^2}=\frac{L^2}{4{r_0}^3}$, $r_0=\frac{1}{4}a_0$
Надо найти корень $r$ из $\frac{GMm}{r}-\frac{L^2}{8r^2}=\frac{GMm}{a_0}-\frac{L^2}{8{a_0}^2}$, отличный от $a_0$. Из равенства выше $\frac{1}{4}L^2={r_0}GMm$, и приняв за единицу $r_0$, получаем $\frac{1}{r}-\frac{1}{2r^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot4^2}$, корни у него $r=4,\frac{4}{7}$, нам нужен второй корень, поэтому $r=\frac{4}{7}\cdot \frac{1}{4} a_0=\frac{a_0}{7}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group