Выпуклость функции на подмножестве области определения

[give_up]

В учебнике по методам оптимизации есть определение выпуклой функции:

Цитата:

Функция $f: X \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется выпуклой, если ее область определения $X$ является выпуклым множеством и
$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y), \qquad \forall x,y \in X, ~ \forall \lambda \in [0,1].$

Однако, меня интересует то, как выглядит определение выпуклости функции на некотором подмножестве ее области определения. Его нет в учебниках, которые у меня под рукой, поэтому приходится придумывать самому. Мой вариант такой:

Функция $f: X \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется выпуклой на множестве $S \subseteq X$, если $S$ является выпуклым множеством и
$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y), \qquad \forall x,y \in S, ~ \forall \lambda \in [0,1].$
Другими словами, если сужение функции $f$ на множество $S$ является выпуклой функцией.

Подскажите, правильным ли будет такое определение?
Спасибо.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1568288 писал(а):

Подскажите, правильным ли будет такое определение?

Думаю, что правильное. Только оно не сильно популярно.

give_up в сообщении #1568288 писал(а):

меня интересует то, как выглядит определение выпуклости функции на некотором подмножестве ее области определения. Его нет в учебниках

Более распространённый подход состоит в том, когда выпуклую функцию, определённую на подмножестве $R^n$ , доопределяют на всё $R^n$ , полагая, что эта функция равна $+\infty$ вне её области определения. А выпуклость функции на $R^n$ определяют через выпуклость её надграфика. Надграфик - это множество точек $R^n$ , расположенных выше графика функции. (Здесь везде вместо $R^n$ может быть некоторое аффинное подпространство $R^n$ ).

Напишите, какой у вас есть учебник. Посмотрим.

[Markiyan Hirnyk]

Разработчики системы компьютерной алгебры Математика именно так полагают: см. пример в справке, где функция $f(x,y):=x^3+y^3$ считается выпуклой в первом квадранте.

[give_up]

мат-ламер в сообщении #1568297 писал(а):

Напишите, какой у вас есть учебник. Посмотрим.

Я смотрел в трех первых попавшихся учебниках - в Boyd "Convex optimization", а также в Сухареве и в Васильеве.

мат-ламер в сообщении #1568297 писал(а):

Более распространённый подход состоит в том, когда выпуклую функцию, определённую на подмножестве $R^n$ , доопределяют на всё $R^n$ , полагая, что эта функция равна $+\infty$ вне её области определения. А выпуклость функции на $R^n$ определяют через выпуклость её надграфика. Надграфик - это множество точек $R^n$ , расположенных выше графика функции. (Здесь везде вместо $R^n$ может быть некоторое аффинное подпространство $R^n$ ).

Я видел такое расширение в книге Boyd p.68. Там он пишет что если $f$ - выпуклая функция (на всей своей области определения $X = \mathrm{dom}f \subseteq \mathbb{R}^n$), то ее расширение $\tilde f$ на всё $\mathbb{R}^n$ определяется указанным Вами способом. И это расширение $\tilde f$, определенное на $\mathbb{R}^n$, будет выпуклой функцией на $\mathbb{R}^n$. Но я пока не понимаю, как это расширение связано с понятием выпуклости функции на подмножестве области определения (ведь вышеуказанное расширение вводится лишь для функции $f$, выпуклой на всей области определения $X$).

Markiyan Hirnyk в сообщении #1568299 писал(а):

По крайней мере, разработчики системы компьютерной алгебры Математика именно так полагают: см. пример в справке, где функция $f(x,y):=x^3+y^3$ считается выпуклой в первом квадранте.

Да, похоже что так, спасибо.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1568288 писал(а):

Однако, меня интересует то, как выглядит определение выпуклости функции на некотором подмножестве ее области определения.

Сразу не дошёл вопрос. Рассмотрим новую функцию, которая определена только на этом некотором подмножестве и совпадающая с исходной на этом подмножестве. После чего применим к этой новой функции стандартное определение (любое из двух равносильных).