2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Заряженный диск
Сообщение29.10.2022, 19:42 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Задача навеяна книгой Griffiths "Introduction to Electrodynamics".
Чуть изменил, убрав лишнее. Практически без интегралов.
Итак, потенциал в центре тонкого равномерно заряженного диска равен $\varphi_0$.
Найти потенциал крайних точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 08:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
28/06/24
6879
dovlato в сообщении #1568175 писал(а):
Практически без интегралов.

Если без интегралов, то можно рассуждать так. Вместо того, чтобы вычислять работу поля по диску, проще подсчитать работу поля вне его (от его края до бесконечности). Сила, действующая на пробный заряд (который находится в плоскости диска вне его) по-видимому равна силе для случая, когда весь заряд находится в центре диска. Во всяком случае, ход силовых линий на это намекает. Но поскольку я не физик, то интуиция может меня тут подвести. Попробую для надёжности взять интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 09:13 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Если честно, то всё же один интеграл взять надо: от косинуса. В школе такие берут :wink: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 09:19 


21/07/20
229
dovlato в сообщении #1568231 писал(а):
Если честно, то всё же один интеграл взять надо: от косинуса. В школе такие берут :wink: .

(Оффтоп)

$\frac{2\varphi_0}{\pi}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 09:27 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ignatovich Мне самому не приходило в голову, что всё так просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 11:35 


21/07/20
229
Тем же методом можно найти потенциал в середине квадрата. Интеграл посложнее: не от косинуса, а от обратной ему величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
28/06/24
6879
мат-ламер в сообщении #1568230 писал(а):
Но поскольку я не физик, то интуиция может меня тут подвести. Попробую для надёжности взять интеграл.

Это я правильно написал. Интуиция меня подвела. А интеграл, который я пытался взять, оказался расходящимся. Пока собираюсь посмотреть Гриффитса.

-- Вс окт 30, 2022 18:57:16 --

dovlato в сообщении #1568175 писал(а):
Задача навеяна книгой Griffiths "Introduction to Electrodynamics".
Чуть изменил, убрав лишнее.

Подскажите, куда вы смотрели. Просмотрев вторую и третью главу из этой книги, я что-то не нашёл пример, в котором рассматривался потенциал равномерно заряженного плоского диска на его крае. (Вдоль оси его есть. Думаю, несложно подсчитать в любой точке плоскости диска на некотором расстоянии от него).

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение30.10.2022, 22:53 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Griffiths: Chapter 2, Problem 2.51.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение31.10.2022, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
28/06/24
6879
Попробовал решить через интеграл. Для решения задачи достаточно рассмотреть диск единичного радиуса с единичной плотностью заряда. Потенциал в центре диска: $\int\limits_{0}^{2\pi} d \ \phi  \int\limits_{0}^{1} d \rho =2\pi$ . Потенциал на краю диска: $\int\limits_{0}^{2\pi} d \phi \int\limits_{0}^{1} \frac{  \rho d \rho  }{\sqrt{ \rho ^2-2 \rho \cos  \phi +1}  }=4$ . Отсюда следует ответ, который уже опубликовал Ignatovich . Но я бы не сказал, что второй интеграл тут из серии
dovlato в сообщении #1568231 писал(а):
В школе такие берут :wink:

Если можно посчитать проще (через интеграл от косинуса), то с интересом посмотрел бы на это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение31.10.2022, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
28/06/24
6879
мат-ламер в сообщении #1568492 писал(а):
Если можно посчитать проще (через интеграл от косинуса), то с интересом посмотрел бы на это.

Надо начало координат брать не в центре диска, а на его краю (в точке, где считается потенциал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение01.11.2022, 22:45 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, полюс полярных координат помещаем на край диска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженный диск
Сообщение17.11.2022, 14:16 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Задачка обсуждалась здесь:
topic114848.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group