Заряженный диск

[dovlato]

Задача навеяна книгой Griffiths "Introduction to Electrodynamics".
Чуть изменил, убрав лишнее. Практически без интегралов.
Итак, потенциал в центре тонкого равномерно заряженного диска равен $\varphi_0$.
Найти потенциал крайних точек.

[мат-ламер]

dovlato в сообщении #1568175 писал(а):

Практически без интегралов.

Если без интегралов, то можно рассуждать так. Вместо того, чтобы вычислять работу поля по диску, проще подсчитать работу поля вне его (от его края до бесконечности). Сила, действующая на пробный заряд (который находится в плоскости диска вне его) по-видимому равна силе для случая, когда весь заряд находится в центре диска. Во всяком случае, ход силовых линий на это намекает. Но поскольку я не физик, то интуиция может меня тут подвести. Попробую для надёжности взять интеграл.

[dovlato]

Если честно, то всё же один интеграл взять надо: от косинуса. В школе такие берут .

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1568231 писал(а):

Если честно, то всё же один интеграл взять надо: от косинуса. В школе такие берут .

(Оффтоп)

$\frac{2\varphi_0}{\pi}$

[dovlato]

Ignatovich Мне самому не приходило в голову, что всё так просто.

[Ignatovich]

Тем же методом можно найти потенциал в середине квадрата. Интеграл посложнее: не от косинуса, а от обратной ему величины.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1568230 писал(а):

Но поскольку я не физик, то интуиция может меня тут подвести. Попробую для надёжности взять интеграл.

Это я правильно написал. Интуиция меня подвела. А интеграл, который я пытался взять, оказался расходящимся. Пока собираюсь посмотреть Гриффитса.

-- Вс окт 30, 2022 18:57:16 --

dovlato в сообщении #1568175 писал(а):

Задача навеяна книгой Griffiths "Introduction to Electrodynamics".
Чуть изменил, убрав лишнее.

Подскажите, куда вы смотрели. Просмотрев вторую и третью главу из этой книги, я что-то не нашёл пример, в котором рассматривался потенциал равномерно заряженного плоского диска на его крае. (Вдоль оси его есть. Думаю, несложно подсчитать в любой точке плоскости диска на некотором расстоянии от него).

[dovlato]

Griffiths: Chapter 2, Problem 2.51.

[мат-ламер]

Попробовал решить через интеграл. Для решения задачи достаточно рассмотреть диск единичного радиуса с единичной плотностью заряда. Потенциал в центре диска: $\int\limits_{0}^{2\pi} d \ \phi \int\limits_{0}^{1} d \rho =2\pi$ . Потенциал на краю диска: $\int\limits_{0}^{2\pi} d \phi \int\limits_{0}^{1} \frac{ \rho d \rho }{\sqrt{ \rho ^2-2 \rho \cos \phi +1} }=4$ . Отсюда следует ответ, который уже опубликовал Ignatovich . Но я бы не сказал, что второй интеграл тут из серии

dovlato в сообщении #1568231 писал(а):

В школе такие берут

Если можно посчитать проще (через интеграл от косинуса), то с интересом посмотрел бы на это.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1568492 писал(а):

Если можно посчитать проще (через интеграл от косинуса), то с интересом посмотрел бы на это.

Надо начало координат брать не в центре диска, а на его краю (в точке, где считается потенциал).

[dovlato]

Да, полюс полярных координат помещаем на край диска.

[fred1996]

Задачка обсуждалась здесь:
topic114848.html