Задача по теории вероятности

[Solaris86]

Здравствуйте! Есть такая задача.
Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
Решение везде приводится такое:
а) Всего двузначных чисел $99-10+1=90$. Число, которое задумано, единственное. Значит, по определению классической вероятности $P=\frac{1}{90}$
б) Двузначных чисел, каждое из которых состоит из различных цифр,$90 - 9 = 81$(всего двузначных чисел 90, а с одинаковыми цифрами - 9). Тогда по определению классической вероятности $P=\frac{1}{81}$, так как подходящее количество чисел равно 1 (то, которое задумано) и это числитель дроби.

Ответ: а)$\frac{1}{90}$; б)$\frac{1}{81}$

Задача "а" мне понятна, а вот задача "б" совсем непонятна.
Поясню. Уменьшим количество цифр: пусть задумали одно из трёх двузначных чисел (11, 22, 30). Ответим на вопрос с формулировкой, которая схожа с формулировкой "б" исходной задачи. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
И будем рассуждать также, как и рассуждали в исходной задаче для формулировки "б"
Двузначных чисел, каждое из которых состоит из различных цифр,$3 - 2 = 1$(всего двузначных чисел 3, а с одинаковыми цифрами - 2). Тогда по определению классической вероятности $P=\frac{1}{1} = 1$, так как подходящее количество чисел равно 1 (то, которое задумано) и это числитель дроби.
Пришли к ответу о 100%, то есть, получается, человек, назвав число "30", точно угадает, что оно и загадано... Но такого не может быть... Помогите разобраться с этой задачей, которую почему-то относят к очень простым.

[TOTAL]

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны; в) число 50

Решите задачу в)

[Solaris86]

TOTAL в сообщении #1568166 писал(а):

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны; в) число 50

Решите задачу в)

Думаю, для задачи "в": $P = \frac{1}{90}$

Кстати, в том же учебнике Гусака А.А., откуда взята изначальная задача, я нашёл похожую задачу, но которая решается почему-то совсем иначе
http://www.itmathrepetitor.ru/1-2-klass ... eroyatnos/
Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае $m = 9$, $n = 90$, то
$P(A)=\frac{9}{90}=0,1$,
где А - событие "число с одинаковыми цифрами".

[TOTAL]

Solaris86 в сообщении #1568171 писал(а):

Думаю, для задачи "в": $P = \frac{1}{90}$

А в двух первых почему не $P = \frac{1}{90}$?

[Solaris86]

TOTAL в сообщении #1568173 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1568171 писал(а):

Думаю, для задачи "в": $P = \frac{1}{90}$

А в двух первых почему не $P = \frac{1}{90}$?

Ну, в задаче "а" тоже $P = \frac{1}{90}$, а про задачу "б" я как раз не могу понять...
Мне кажется, всё дело в достаточно непростой формулировке задачи...
Если разложить все 3 задачи на отдельные звенья, то получается
Задача "а":
1. Загадали случайным образом двузначное число от 10 до 99, всего 90 вариантов;
2. Назвали случайным образом двузначное число от 10 до 99, всего 90 вариантов;
Тут вроде всё очевидно, шанс угадать 1 из 90, то есть $P = \frac{1}{90}$
Задача "б":
1. Загадали случайным образом двузначное число от 10 до 99, всего 90 вариантов;
2. Назвали случайным образом двузначное с разными цифрами от 10 до 99, всего 81 вариант.
Здесь неясно... Мне почему-то кажется, что и тут должно быть $P = \frac{1}{90}$.
Вариант $P = \frac{1}{81}$ подошёл бы для случая, если бы было другое условие, что загадали двузначное число с разными цифрами. А так получается, что загадали один из 90 вариантов двузначных чисел, а назвали один из 81 вариантов двузначных чисел с разными цифрами и как это правильно связать, не понятно.
Да даже по логике, при наложении какого-то дополнительного условия (в нашем случае - разные цифры), вероятность угадывания должна уменьшаться, а не увеличиваться, а у нас тут наоборот: $\frac{1}{81} > \frac{1}{90}$.
Задача "в":
1. Загадали случайным образом двузначное число от 10 до 99, всего 90 вариантов;
2. Назвали случайным образом конкретное число 50, всего 1 вариант.
Тут $P = \frac{1}{90}$

[gris]

в б) непонятка в условиях. То, что в названном числе разные цифры, это:
— просто свойство названного числа;
— требование к множеству чисел, которые можно выбирать;
— требование к множеству чисел, которые можно и загадывать, и выбирать.
В третьем варианте действительно получается $1/81$. В первом $1/90$. А во втором — не знаю
Ой, там уже написали что-то...
Вот что интересно: пусть загадывается число из некоторого множества $M$. Отгадывающего случайно ограничивают (на каждую игру по-разному!) некоторым подмножеством множества $M$, из которого он может называть своё предположение. Возможно, это даже только одно число.
И от чего зависит вероятность отгадывания?

[мат-ламер]

Solaris86
Имейте в виду, что автор книги человек и он тоже может ошибаться. Так что полагайтесь лучше на свою интуицию.

[Solaris86]

мат-ламер в сообщении #1568195 писал(а):

Solaris86
Имейте в виду, что автор книги человек и он тоже может ошибаться. Так что полагайтесь лучше на свою интуицию.

Мне почему-то хочется рассуждать так.
Пусть есть задача: колода 36 карт. Найти:
1) вероятность наугад вытащить туз
2) вероятность наугад вытащить бубновую карту
3) вероятность наугад вытащить бубновый туз
Решаем.
1) $P_1 = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
2) $P_2 = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
3) $P_3 = P_1 \cdot P_2 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac {1}{36}$

По такой же логике, возвращаясь к задаче "Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.", можно рассуждать:
а) вероятность того, что случайно названное число совпадёт с задуманным: $P_1 = \frac{1}{90}$
б) вероятность того, что задуманное двузначное число имеет различные цифры: $P_2 = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} $
в) вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны: $P_3 = P_1 \cdot P_2 = \frac{1}{90} \cdot \frac{9}{10} = \frac {9}{900} = \frac {1}{100} < \frac{1}{90}$
В итоге вероятность с добавлением условия стала меньше, поэтому данный вариант решения мне кажется верным...

-- 29.10.2022, 22:33 --

Solaris86 в сообщении #1568163 писал(а):

Поясню. Уменьшим количество цифр: пусть задумали одно из трёх двузначных чисел (11, 22, 30). Ответим на вопрос с формулировкой, которая схожа с формулировкой "б" исходной задачи. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
И будем рассуждать также, как и рассуждали в исходной задаче для формулировки "б"
Двузначных чисел, каждое из которых состоит из различных цифр,$3 - 2 = 1$(всего двузначных чисел 3, а с одинаковыми цифрами - 2). Тогда по определению классической вероятности $P=\frac{1}{1} = 1$, так как подходящее количество чисел равно 1 (то, которое задумано) и это числитель дроби.
Пришли к ответу о 100%, то есть, получается, человек, назвав число "30", точно угадает, что оно и загадано... Но такого не может быть... Помогите разобраться с этой задачей, которую почему-то относят к очень простым.

Проверю способ с перемножением вероятностей на этой задаче с уменьшенным набором чисел:
а) вероятность того, что случайно названное число совпадёт с задуманным: $P_1 = \frac{1}{3}$
б) вероятность того, что задуманное двузначное число имеет различные цифры: $P_2 = \frac{1}{3}$
в) вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны: $P_3 = P_1 \cdot P_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac {1}{9} < \frac{1}{3}$
Тоже вроде нормально выглядит ответ.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1568195 писал(а):

Так что полагайтесь лучше на свою интуицию.

Я имел в виду вот эту вашу фразу:

Solaris86 в сообщении #1568187 писал(а):

Мне почему-то кажется, что и тут должно быть $P = \frac{1}{90}$.

Какое бы двузначное число вы не назвали, вероятность того, что оно совпадёт с задуманным, равна $\frac{1}{90}$ . Поэтому, как бы вы ни организовали процесс этого называния, случайным он будет или нет, с ограничениями или нет, на ответ это повлиять не сможет.

-- Вс окт 30, 2022 09:21:48 --

gris в сообщении #1568188 писал(а):

в б) непонятка в условиях.

До меня тоже иногда некоторые тексты с трудом доходят. Как пример:

gris в сообщении #1568188 писал(а):

некоторым подмножеством множества $M$, из которого он может называть своё предположение. Возможно, это даже только одно число

Слово "это" к чему относится, к предположению или подмножеству?

[gris]

мат-ламер в сообщении #1568228 писал(а):

Поэтому, как бы вы ни организовали процесс этого называния, случайным он будет или нет, с ограничениями или нет, на ответ это повлиять не сможет.

Ну вот ровно это я и имел в виду. Главное, чтобы ограничения были внутри множества, откуда число задумывается.Ну и чтобы ограничения не были известны загадывающему. Конечно, это можно расписать строго, но лучше на интуитивном уровне научиться разбираться с разнообразными ситуациями в ТВ.
Была ещё шутка, но умолчу.