Доказать равенство пределов

[add314]

Наткнулся на следующую задачу:
Пусть $f(x)$ дифференцируема в точке $x=a$. Доказать, что в этом случае производная $f'(a)$ также задана пределом: $\displaystyle{\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a-h)\over{2h}}}$

То есть нужно доказать, что $\displaystyle{\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a-h)\over{2h}} = \lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over{h}}}$, если взять $h$ за приращение аргумента.

Пробовал доказать, что $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, что сводится к $2f(a)-f(a+h)=f(a-h)$. Но не понимаю, куда отсюда двигаться. Помогите натолкнуть на мысль.

[mihaild]

add314 в сообщении #1568089 писал(а):

Пробовал доказать, что $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Без взятия предела это неверно.

Попробуйте что-нибудь в числителе прибавить и вычесть, чтобы получилось что-то похожее на обычное определение производной.

[add314]

mihaild в сообщении #1568094 писал(а):

прибавить и вычесть

Если вы имеете в виду что-то подобное этому: $\displaystyle{\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{(f(a+h)-f(a))+(f(a)-f(a-h))}{2h}}$, то тоже, честно говоря, не совсем понимаю, как отсюда явно доказать, что это производная.

[мат-ламер]

add314
Может быть вам помогут такие понятия как левая и правая производная?

[B@R5uk]

add314, вынесете 1/2 за скобки и расщепите передел суммы на сумму пределов. Дальше, для красоты и для пущей важности в одном пределе можно сделать замену $h\to-h$, и у вас получится две одинаковых производных, записанных по определению. По идее, вы уже должны были их в вашей последней формуле увидеть.

-- 29.10.2022, 14:07 --

мат-ламер, так ведь здесь то как раз производная самая обычная: предел к нулю с обеих сторон.

[мат-ламер]

B@R5uk в сообщении #1568138 писал(а):

мат-ламер, так ведь здесь то как раз производная самая обычная: предел к нулю с обеих сторон.

Ну, я написал:

мат-ламер в сообщении #1568137 писал(а):

Может быть

Вопрос методический. Правая производная совпадает с обычной. Левая производная совпадает с правой после замены $h$ на $-h$ (в случае дифференцируемости).

Просто я был в затруднении, как бы подсказать, ничего не подсказывая.

[EminentVictorians]

add314 в сообщении #1568089 писал(а):

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a-h)\over{2h}}}$

У нее кстати даже название есть - Symmetric derivative. Представляет собой обобщение обычной производной: если функция дифференцируема в точке в обычном смысле, то у нее в этой точке будет существовать и симметричная производная и оба эти значения будут совпадать. В обратную сторону не верно: функция $f(x) = |x|$ не дифференцируема в нуле в обычном смысле, но имеет в нем симметрическую производную, равную нулю. А еще она равна среднему арифметическому между левой и правой производной, если они обе существуют в точке. В общем, довольно интересная штука.

[Markiyan Hirnyk]

Существование производной $f'(a)$ равносильно тому, что $f(a+\Delta x)-f(a)=f'(a)\Delta x+o(\Delta x)\Delta x,\,\Delta x\to 0.$ Отсюда следует ответ на Ваш вопрос.

[add314]

мат-ламер в сообщении #1568137 писал(а):

Может быть вам помогут такие понятия как левая и правая производная?

Да натолкнуло на мысль.
Спасибо большое, мат-ламер, B@R5uk, EminentVictorians! Разобрался.