Решение уравнения в натуральных числах

[олюнуша]

Решить уравнение в натуральных числах
х+1/(у+1/z)=10/7

[gefest_md]

$x+\dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{10}{7}$

Не уверен в единичности корня $(x,y,z)$, но начинать очевидно следовало бы с обработки правой части: $\frac{10}{7}=\frac{7+3}{7}=\ \ldots$

[Brukvalub]

Интересно, с какой олимпиады эти задачки? Не с олимпиады ли по быстрейшему решению домашнего задания для 10 класса N-ской школы?

[олюнуша]

Brukvalub писал(а):

Интересно, с какой олимпиады эти задачки? Не с олимпиады ли по быстрейшему решению домашнего задания для 10 класса N-ской школы?

школьная олимпиада за 11 класс

[THC]

$$x+\dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z}} = \dfrac{10}{7}$$

Умножить обе части на:

$$7(y+\dfrac{1}{z})$$

Перепишем в виде:

$$(y+\dfrac{1}{z})(7x-10) = -7$$

Или

$$\dfrac{(zy+1)(7x-10)}{z} =-7$$

Поскольку

$$(zy+1)$$

не делится на

$$z$$

, то можно положить:

$$\dfrac{(7x-10)}{z} = t$$

(

$$t$$

- целое)
Следовательно

$$(zy+1)t = -7$$

Дальше уже всё очевидно

[Brukvalub]

А еще проще - сразу понять, что х=1, подставить, затем понять, что у=1 или у=2, подставить, и найти z.

[Батороев]

Brukvalub писал(а):

А еще проще - сразу понять, что х=1, подставить, затем понять, что у=1 или у=2, подставить, и найти z.

То, что Brukvalub поленился расписать:

$ x + \dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z}} = \dfrac{10}{7} = 1+ \dfrac{3}{7} $,
откуда $ x = 1 $.

$y + \dfrac{1}{z} = \dfrac{7}{3} = 1 + \dfrac{4}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}$.

Т.к. $ \dfrac{1}{z} $ должно быть равно несократимой дроби с числителем, равным $1$,

то подходит только вариант $ y=2 $; $ z=3 $.

[Brukvalub]

Батороев в сообщении #156807 писал(а):

То, что Brukvalub поленился расписать

Не поленился, а подчинился букве закона, согласно которому нельзя давать полные решения простых задач!

[Батороев]

Виноват.
Сам я что-то заблудился.