Ошибка wolframalpha

[Dmitriy40]

Наткнулся тут на странное поведение wolframalpha, да даже откровенно глючное.
Вот это уравнение заявляет что не имеет решений в целых: $32p=14q^2+2=15r^2+1$.
Однако вот так решения в целых неожиданно находятся: $32\cdot1523=14q^2+2=15r^2+1$.
Но мало. Их же по идее должна быть бесконечная серия (для трёх неизвестных). Собственно решения должны повторяться по модулю или $210$ или $3360$, ну или ещё какому не слишком большому.
При этом отдельные пары уравнений или даже их совокупность (до трёх неизвестных, потом решения резко становятся кардинально сложнее), но максимум с одним неизвестным в квадрате, вполне себе решает.

То есть это у них типа такая недоработка в решении диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными неизвестным в квадратах, так что ли? Беда однако, самому их решать убиться можно ... Не то чтобы совсем уж сложно, но муторно и как-то не выходит автоматизировать (с помощью PARI).
У кого какие соображения будут?

[Slav-27]

Если $pqr$ поменять на $xyz$, то результат меняется, но всё равно неадекватен.

[lel0lel]

Скачайте математику и установите. Вольфрам альфа выдаёт тот же результат даже если удалить $32$. Если не лень, то решите сначала первое, оно легко решается. Затем подставить решение и решить второе.

[Dmitriy40]

Да мне проще программу на PARI написать с перебором всех остатков по какому-нибудь модулю (например $\operatorname{lcm}(2^5,3,5,7)=3360$), которая подберёт все возможные остатки для всех переменных по этому модулю и потом уже по любой из переменных организовать основной цикл перебора.
Тем более что объяснить вольфрамальфа искать решения не просто в целых, а в простых мне так и не удалось, или не понимает условие, или не ищет (виснет). И даже для исключения кратных двум и трём приходится руками все переменные заменять по принципу $q \to (6q+1)$ не забывая опять же руками перебирать все комбинации знаков при этом ...
Но им весьма удобно было проверять есть ли решения вообще, хотя бы в целых, их довольно часто нет, а потом уж разбираться простые они или какие. Но если он ошибочно заявляет что решений нет когда они точно есть ...

[lel0lel]

Забросили просто этот проект, не нужен он никому, кроме студентов. К тому же конкурентов достаточно.

На всякий случай:
решение первого
https://www.wolframalpha.com/input?i=32p%3D14*q%5E2%2B2+over+integer Две серии. Нужно их подставить во второе. Похоже, что бесконечной серии не будет.

[Dmitriy40]

Раз не будет бесконечной - это тоже ошибка. Про $15r^2+1$ не уверен на 100% (хотя принцип ровно тот же), а вот про $21r^2-5$ вполне себе уверен, в первом сообщении есть ссылка с объяснением и ссылкой на рекуррентную формулу решений, я её проверил и в отличии от вольфрамальфа нашёл не два решения, а много (ограничился до $32p<10^{35}$):
14*11^2+2=21*9^2-5=32*53
14*109^2+2=21*89^2-5=32*5198
14*105731^2+2=21*86329^2-5=32*4890831908
14*1046629^2+2=21*854569^2-5=32*479251615343
14*1015229051^2+2=21*828931049^2-5=32*450926886372532763
14*10049731549^2+2=21*8205571449^2-5=32*44186233090547598488
14*9748229241971^2+2=21*7959395846169^2-5=32*41574738342383092554734618
14*96497521286869^2+2=21*78789896198729^2-5=32*4073900081348009406283922633

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1567616 писал(а):

К тому же конкурентов достаточно.

А скажите про конкурентов? Чтоб решали произвольные уравнения, не только в целых? И чтоб онлайн, без установок на комп? И чтоб более-менее понятно для нематематика, а то вон PARI/GP возможно тоже умеет решать уравнения, но как его заставить я без понятия.

(Оффтоп)

Отдельно бесит его принцип везде ставить $-An$, хотя $n$ ведь в $Z$ и знак то уж можно любой брать ... Плюс выражения типа $r=27-8n$ - а что, взять $27$ по модулю вера не позволяет?! Мрак, всё приходится вручную за ним править, а это лишние ошибки.

[lel0lel]

Dmitriy40 в сообщении #1567618 писал(а):

Раз не будет бесконечной - это тоже ошибка

Да, согласен. Находит только наименьшие.

-- Вт окт 25, 2022 01:08:24 --

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1567618 писал(а):

А скажите про конкурентов? Чтоб решали произвольные уравнения, не только в целых? И чтоб онлайн, без установок на комп?

думаю, что я не столь хороший советчик в этом вопросе. Из того, что на слуху -- это PARI/GP и SAGE math. Хотя сам я по привычке использую Wolfram на компьютере.

[EUgeneUS]

Dmitriy40
Вот, что известно про диофантовы уравнения:
(из ру-вики)
С одной строны:

Цитата:

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[8]

То есть не существует и не может существовать "универсального решателя", который решит любое диофантово уравнение.

С другой стороны:

Цитата:

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

То есть для некоторых классов уравнений проблема рассмотрена до конца и решатели существуют. В том числе для Пелль-подобных уравнений вида $a n^2 - b m^2 = \pm N$, так как это уравнения второй степени с двумя неизвестными.
Но у Вас-то получилась система из двух уравнений второй степени для трех переменных.
А куда податься бедному крестьянину Вольфраму, если для заданной задачи у него решателя в мозгах нет? Только уходить в перебор (за конечное разумное время).
Насколько понимаю, всё это должно быть видно в разделе "Step-by-step solution", но это доступно, насколько помню, по платной подписке.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1567650 писал(а):

А куда податься бедному крестьянину Вольфраму, если для заданной задачи у него решателя в мозгах нет?

Честно признаться "не знаю". Sage так умеет (и очень любит говорить на любой чих, предполагая что любая переменная может внезапно оказаться комплексной, выражение под корнем отрицательным и т.д. - в этой части вольфрам лучше, делая разумные предположения об условиях).

[Dmitriy40]

EUgeneUS
Про полную исследованность уравнений второй степени в вики видел, вот только метода решения (понятного!) быстро не нашёл.
А в одном каком-то курсе видел что для частного случая $Ax^2+By^2=C, A,B,C>0$ легко решается перебором по $A$ или $B$ (что в общем очевидно), а вот для случая $A<0$ или $B<0$ простого метода нет и придётся или искать противоречие по какому-то модулю (если решений нет), или выдумывать метод решения для каждого конкретного значения коэффициентов. Возможно общий метод есть (хотя пока не наткнулся), но вероятно он над каким-то полем/кольцом над комплексными числами (типа чисел Гаусса) и сложен для понимания.
То что переменных три (и уравнений два) не принципиально, и без $32p$ решаются отвратительно и некорректно.

[EUgeneUS]

Dmitriy40

Для одного отрицательного коэффциента:
1. $x^2 - d y^2 = 1$ - классическое уравнение Пелля. Про него всё известно. Всегда есть бесконечная серия и есть реккурентная формула.

2. $x^2 - d y^2 = -1$ - "отрицательное" уравнение Пелля. Для некоторых $d$ есть бесконечная серия, для некоторых - нет решений. Как его решать, вроде бы тоже известно\понятно.

3. Более общие случаи:

$$x^2 - d y^2 = N$$

$$c x^2 - d y^2 = 1$$

$$c x^2 - d y^2 = N$$

Тут уже более специальную литературу надо читать ;).
Но в контексте наших задач возникает часто (почти всегда) одно и тоже Пелль-подобное уравнение: $3 x^2 - 2 y^2 =1$, про которое (благодаря консультациям старших товарищей) тоже всё известно.

-- 25.10.2022, 13:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1567673 писал(а):

без $32p$ решаются отвратительно и некорректно.

А можно пример, чтобы Вольфрам некорректно решил уравнение вида $c x^2 - d y^2 = N$?

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1567686 писал(а):

А можно пример, чтобы Вольфрам некорректно решил уравнение вида $c x^2 - d y^2 = N$?

Так ведь пример был выше: $14q^2+2=21r^2-5$, Вы же сами дали (в основной теме) ссылку на его решение, по которому я и нашёл приведённые выше решения, а вольфрамальфа их не нашёл. Т.е. если вместо серии даёт лишь ограниченное количество решений - считаю решение некорректным, потому что это очень важное отличие в контексте основной задачи.

EUgeneUS в сообщении #1567686 писал(а):

Но в контексте наших задач возникает часто (почти всегда) одно и тоже Пелль-подобное уравнение: $3 x^2 - 2 y^2 =1$, про которое (благодаря консультациям старших товарищей) тоже всё известно.

Не скажите, далеко не только такое:
$143q^2-7=15r^2+1$
$143q^2-7=10r^2+6$
$143q^2-7=21r^2-5$
$143q^2-7=35r^2-3$
$143q^2-7=14r^2+2$
И это только с $143q^2-7$ (правда не все они допустимы по другому квадрату), а ещё все они могут быть и с $143q^2+1$, вообще же таких уравнений несколько десятков.

[EUgeneUS]

Вот в таком виде:

Dmitriy40 в сообщении #1567697 писал(а):

$14q^2+2=21r^2-5$,

Вольфрам узнаёт Пелль-подобное уравнение и даёт бесконечную серию.

А вот в таком виде (как в Вашем примере выше) $32(28n^2+91n+74)=21r^2-5$ over integer - да, не узнаёт Пелль-подобное уравнение. И дает немного решений. Хотя оно сводится к виду $A x^2 - B y^2 = C$

-- 25.10.2022, 14:29 --

Кстати, во втором случае Вольфрам предупреждает:

Цитата:

Standard computation time exceeded...

И предлагает заплатить денех.

Так что, я так думаю, что если
а) уравнение второй степени от двух переменных.
б) сообщения о нехватке "стандартного" времени нет.
То результатам доверять можно.