Минимизация интеграла

[MestnyBomzh]

Решить задачу минимизации

$$ \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{10} x^2(t) + u^2(t) dt \to \min$$

Если известно что

$$ \begin{cases} \dot{x} = -x^3 + u \\ x(0) = 1.5\\ x(10) = 1 \end{cases} $$

Идей у меня особо толковых не было, выразил $u(t)$ через $x$, подставил в интеграл, дальше подумал как-то по частям взять, чтобы избавиться от $\dot{x}$, но тоже ничего толкового не получилось.
Еще я нашел, что $u(0) =\dot{x(0)}, u(10) = 1000+\dot{x(10)}$ хотя не знаю как нам это использовать

наконец, последняя идея, навесить интеграл у диффура и получить (но тоже выглядит как-то бесполезно)

$$x = - \int x^3 dt + \int u dt$$

[amon]

MestnyBomzh в сообщении #1567219 писал(а):

выразил $u(t)$ через $x$, подставил в интеграл

После чего все вроде свелось к стандартной вариационной задаче с фиксированными концами. Или я не прав?

[MestnyBomzh]

Хм, действительно, раньше не сталкивался с такими задачами, но почитал в интернете и попробовал решить мою задачу:

$$ \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{10} x^2 + \dot{x}^2+2 \dot{x} x^3 + x^6 dt \to \min $$

Дальше я составляю ур-ие Эйлера по формуле

$$ \frac{d}{dt} \frac{d}{d \dot{x}} L(t, x, \dot{x}) = \frac{d}{dx} L(t, x, \dot{x})$$

Находя все производные получаю

$$ 2 \ddot{x} + 6x^2 \dot{x} = 2x + 6 \dot{x} x^2 + 6x^5 $$

И вот тут дальше диффур не решается, подскажите какой следующий шаг?

[Null]

Приведите подобные. Умножьте на $\dot{x}$ Вычисления не проверял.

[svv]

$\bullet$ Надо писать скобки: $\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{10}( x^2 + \dot{x}^2+2 \dot{x} x^3 + x^6) dt$. Без скобок получится, что $dt$ относится только к последнему слагаемому.

$\bullet$ Различайте полные и частные производные. В уравнении Эйлера-Лагранжа стоят частные производные $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial \dot x}$, но полная производная $\frac{d}{dt}$. Это не то же самое, что $\frac{\partial}{\partial t}$. Если $L$ зависит от $t, x, \dot x$, а $x,\dot x$ сами зависят от $t$, то
$\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial L}{\partial \dot x}\frac{d\dot x}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial x}\dot x+\frac{\partial L}{\partial \dot x}\ddot x$

$\bullet$ Слагаемое $2\dot x\,x^3\,dt$ — полный дифференциал:
$2\dot x\,x^3\,dt=2x^3\,dx=d(\frac 1 2 x^4)$
Если $x(t)$ фиксирована на концах, вклад этого слагаемого в функционал не зависит от выбора $x(t)$:
$\int\limits_0^{10}d(\frac 1 2 x^4)= \left.\bigl(\frac 1 2x^4\bigr)\right|_{t=10}-\left.\bigl(\frac 1 2x^4\bigr)\right|_{t=0}$
Поэтому слагаемое $2\dot x\,x^3\,dt$ можно просто выбросить. Если не выбрасывать, то, что из него получается, всё равно потом сократится:
$ 2 \ddot{x} +{\color{magenta} 6x^2 \dot{x}} = 2x + {\color{magenta} 6 \dot{x} x^2} + 6x^5 $

(Физические аналогии)

Назовём независимую переменную $t$ "время", а подынтегральную функцию $L$ "лагранжиан" (с множителем $\frac 1 2$ и уже выброшенным слагаемым):
$L=\frac 1 2\dot x^2+\frac 1 2(x^2+x^6)$
Время не входит в лагранжиан явно: лагранжиан зависит от времени только через переменные $x(t), \dot x(t)$. В этом случае сразу можно записать ДУ первого порядка:
$\frac{\partial L}{\partial \dot x}\dot x-L=E=\operatorname{const}$,
где константа $E$ называется энергией.

Более того, в Вашем случае $L=T-U$, где кинетическая энергия $T=\frac 1 2 m\dot x^2$ (с массой $m=1$), а потенциальная энергия $U=-\frac 1 2(x^2+x^6)$ зависит только от $x$ (обратите внимание на минусы). Поэтому
$\frac{\partial L}{\partial \dot x}\dot x-L=m\dot x^2-(\frac 1 2m\dot x^2-U(x))=\frac 1 2m\dot x^2+U(x)=E$
Это закон сохранения энергии. Отсюда
$\dot x=\pm\sqrt{2(E-U(x))}$
Это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

С учётом всего этого, начало решения может выглядеть так: $2\dot x x^3$ выбрасываем как полную производную по $t$, тогда лагранжиан выглядит как разность кинетической энергии $T=\frac 1 2\dot x^2$ и потенциальной $U=-\frac 1 2(x^2+x^6)$, как и должно быть в физике. Значит, сумма $T+U=E$ сохраняется:
$\frac 1 2\dot x^2-\frac 1 2(x^2+x^6)=\operatorname{const}$

[MestnyBomzh]

Спасибо за подробные комментарии! Да, по поводу дифференциалов я совсем забыл, что прямая "d" это полный, а прописная это частный, но я, конечно, имел в виду прописную
По поводу $2\dot x\,x^3\,dt$ спасибо, не догадался, что это будет просто константа. В любом случае у нас теперь остается ур-ие

$$ 2 \ddot{x} - 2x - 6x^5 = 0$$

Выше еще советовали умножить на $\dot{x}$:

$$ 2 \ddot{x} \dot{x} - 2x \dot{x} - 6x^5 \dot{x} = 0$$

Тогда получаем

$$ (\dot{x}^2)' - (x^2)' - (x^6)' = 0$$

$$ (\dot{x}^2 - x^2 - x^6)' = 0$$

$$ \dot{x}^2 - x^2 - x^6 = Const $$

Дальше я пока не продвинулся