Вкратце гидродинамическое решение.
Пусть шар движется со скоростью
![$\mathbf v$ $\mathbf v$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/3/5a3a4e484cee30d535f9a94ae777268182.png)
в направлении
![$Oz$ $Oz$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/8/4c80e58e279276f4c54a80cc6823524082.png)
, и в момент
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
его центр совпадает с началом координат. Рассмотрим поле скоростей жидкости
![$\mathbf u(\mathbf r)$ $\mathbf u(\mathbf r)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/a/86a7695e8a6ddb792c1b8c0ade13fd9e82.png)
в этот же момент.
Течение безвихревое,
![$\operatorname{rot}\mathbf u=0$ $\operatorname{rot}\mathbf u=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/0/f70ebf56cb53b9c9eb01bdee2897e19182.png)
, откуда
![$\mathbf u=-\operatorname{grad}\psi$ $\mathbf u=-\operatorname{grad}\psi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/487b5783d80d60d11f773c11343c163582.png)
. Жидкость несжимаема,
![$\operatorname{div}\mathbf u=0$ $\operatorname{div}\mathbf u=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db44b0edeeb6f0371eabfce46fef6c1882.png)
, значит, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
![$\Delta\psi=0$ $\Delta\psi=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d76a3d7ed09abf3a05a083176c4575d82.png)
.
На поверхности шара нормальная компонента
![$u_r=v_r$ $u_r=v_r$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/5/9a5b5c568dfedfea5d9ef89f01e1e44082.png)
, где
![$u_r=-\frac{\partial\psi}{\partial r},\;v_r=v\cos\theta$ $u_r=-\frac{\partial\psi}{\partial r},\;v_r=v\cos\theta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/b/f7b2a6fe9fe76dad1bc806aab4e8fda982.png)
. Так зависит от угловых координат только сферическая гармоника
![$P_1(\cos\theta)$ $P_1(\cos\theta)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/8/408c75955592cdc81a44a4534dcbc5e182.png)
, остальные в силу ортогональности отсутствуют. Ей соответствует частное решение
![$\psi=(Ar+Br^{-2})\cos\theta$ $\psi=(Ar+Br^{-2})\cos\theta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a6ef856e1456179231efa5ba282ba8d82.png)
. С учётом убывания
![$\mathbf u$ $\mathbf u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/a/2da984f7137968c2347e4421782d405982.png)
на бесконечности
![$A=0$ $A=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/f/3efd8f56b9a4de7cd1da2f06d49c6a5482.png)
. Коэффициент
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
находится из того же условия
![$u_r=v_r$ $u_r=v_r$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/5/9a5b5c568dfedfea5d9ef89f01e1e44082.png)
, в итоге
![$\psi=\frac {R^3v}{2}\,r^{-2}\cos\theta$ $\psi=\frac {R^3v}{2}\,r^{-2}\cos\theta$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/d/5dd7be230f7e61a8721cb0d6501c009282.png)
.
Кинетическая энергия жидкости
![$\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}\mathbf u^2\;dV=\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}(\operatorname{grad}\psi)^2\;dV=-\frac{\rho}2\int\limits_{r=R}\psi\frac{\partial\psi}{\partial r}\;dS=\frac{\mu v^2}{2}$ $\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}\mathbf u^2\;dV=\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}(\operatorname{grad}\psi)^2\;dV=-\frac{\rho}2\int\limits_{r=R}\psi\frac{\partial\psi}{\partial r}\;dS=\frac{\mu v^2}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f1fd7c887111232689381487599f6f882.png)
,
где
![$\mu=\frac 2 3\pi R^3\rho$ $\mu=\frac 2 3\pi R^3\rho$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/6/5f6148e69423151a4a2c863e259eb61682.png)
. Применена интегральная теорема (первая формула Грина), упрощающая интегрирование.
Но что делать школьнику?
Хорошо,
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
можно сопоставить с электростатическим потенциалом диполя с дипольным моментом
![$\frac {R^3v}{2}\mathbf e_z$ $\frac {R^3v}{2}\mathbf e_z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/5/7d50ca551d7b5fe24b0464fa5d392db982.png)
(поскольку электрическое поле без зарядов "течёт", как идеальная несжимаемая жидкость, неразрывно и без завихрений). Тогда
![$\mathbf u$ $\mathbf u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/a/2da984f7137968c2347e4421782d405982.png)
сопоставляется с электрическим полем этого диполя. Кинетической энергии жидкости будет соответствовать энергия поля вне шара с каким-то коэффициентом.
Допустим, "дипольность" можно обосновать наличием выделенного направления и осесимметричностью. Но из каких соображений можно получить дипольный момент, например?
![facepalm :facepalm:](./images/smilies/facepalm.gif)