Предел функции по Коши.

[XeuTeP_KoLLIu]

В учебнике Кудрявцева встретил такое определение предела по Коши. Почему здесь не требуется того, что $x\neq x_{0}$

[svv]

Как объясняет сам автор,

Цитата:

Из существенных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x\to x_0$ не требуется выполнения условия $x\neq x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, само определение предела делается короче (на одно условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства, в которых участвуют пределы функций; не нужно рассматривать отдельно от теории пределов функций непрерывные функции; делается наглядным и убедительным утверждение, что в математике дискретность является частным случаем непрерывности; упрощаются формулировка и доказательство важной теоремы о пределе композиции функций и т.д.

(Кудрявцев, Курс математического анализа, т.1, 2003, стр. 4-5)

Цитата:

Существенное отличие предлагаемого учебника от большинства других состоит в изложении теории предела функции. В основе этого изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по её проколотой окрестности, а по любому множеству, содержащемуся в области задания функции. Это позволяет изучать свойства функций глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой окрестности. В учебнике определение предела $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a$ числовой функции $f$, заданной на множестве $X$, формулируется, например, в терминах последовательностей следующим образом: для любой последовательности $x_n\to x_0, x_n\in X$, имеет место $f(x_n)\to a, n=1,2,...$ При этом допускаются оба случая, $x_0\in X$ и $x_0\notin X$, а тем самым при таком определении предела функции не предполагается, что $x_n\neq x_0$. Это упрощает формулировки и доказательства теорем (по сравнению с обычным определением здесь одним условием меньше), что особенно хорошо видно на примере теоремы о пределе сложной функции и позволяет наглядно и убедительно показать, что в математике дискретное является частным случаем непрерывного. Подробный сравнительный анализ с точки зрения различных определений предела функции содержится в статье L.D. Kudryavtsev "Introducing limits at the undergraduate level" (Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 1992, V. 23, №4, 517-523).

(Кудрявцев, Краткий курс математического анализа, т.1, 2009, стр. 9)

[krum]

Только зря он называет это методическим новшеством: Л. Шварц Анадиз том 1