2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инвариантность подпространства и внешние произведения
Сообщение14.10.2022, 16:49 


20/09/21
54
Задача: Доказать, что $k$-мерное подпространствo $W\subseteq V$ инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\Lambda^kW$ инвариантно относительно $\Lambda^k(\mathcal{A})$.

В одну стороно очевидно как доказать: если $W\subseteq V$ инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, то $\Lambda^kW$ инвариантно относительно $\Lambda^k(\mathcal{A})$.

Непонятно, почему верно обратное. Может я неправильно понял задачу? Рассмотрим такой контрпример:

Пусть $e_1,e_2,e_3$ - базис $V$, $k=2$, $W=\langle e_1,e_2\rangle$ и $$
\mathcal{A}(W)=\langle e_3\rangle.
$$
Тогда $\Lambda^2(\mathcal{A})(\Lambda^2W)=0$, поэтому $\Lambda^2W$ инвариантно относительно $\Lambda^2(\mathcal{A})$, но $W\subseteq V$ не инвариантно относительно $\mathcal{A}$.

Где тут ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность подпространства и внешние произведения
Сообщение14.10.2022, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Во внешней степени $\bigwedge^{k} V$ живут ориентированные $k$-мерные объемы из $V$. Действительно, если оператор $A$ на $W$ имеет ранг меньший $k$ (т.е. все $k$-мерные объемы на $W$ под действием $A$ вырождаются), то $\bigwedge^{k} W$ лежит в ядре $\bigwedge^{k} A$ и, таким образом, очевидно инвариантно относительно $\bigwedge^{k} A$, в то время как $W$ не обязано быть инвариантным относительно $A$. Но утверждение задачи легко подправить, потребовав невырожденности — вот с ней докажите, что утверждение справедливо.

Замечание по обозначениям. Внешнее произведение обозначается значками $\bigwedge$ и $\wedge$, что отличается от значка (лямбды) $\Lambda$, используемого Вами. Вообще вместо $\bigwedge^{k} A$ и $\bigwedge^{k} V$ удобней и красивей в латехе писать $A^{\wedge k}$ и $V^{\wedge k}$ (и аналогично с тензорными произведениями).

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность подпространства и внешние произведения
Сообщение14.10.2022, 19:24 


20/09/21
54
Если $\mathcal{A}$ невырожден, то тогда легко доказать. Спасибо за разъяснения.
Тему можно закрыть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group