2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегрирование по частям в тензорных обозначениях
Сообщение14.10.2022, 00:30 


22/01/22
25
Здравствуйте, предположим, что у меня есть векторные поля $a$, $b$ и скалярное поле $f$, которые на границе интегрирования обращаются в ноль. Я хочу перейти к дифференцированию компонент $a$ под новым интегралом .

Правильно я понимаю, что интегрирование по частям для нижеприведенных зависимостей будет таким в тензорных обозначениях?

$$ \displaystyle  \int  d^{3}r (\vec{a}\cdot div(\vec{b})) = - \int   d^{3}r (b_{k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$


$$ \displaystyle  \int  d^{3}r (\vec{a}\cdot grad(f)) = - \int   d^{3}r (f \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$

А как проинтегрируется?

$$
 \displaystyle  \int  d^{3}r (\vec{a}\cdot rot(\vec{b}))
$$

Мне помнится, что $$rot(\vec{b}) = \varepsilon_{ikl} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{k}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по частям в тензорных обозначениях
Сообщение14.10.2022, 03:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
George M в сообщении #1566673 писал(а):
которые на границе интегрирования обращаются в ноль
Да, это важно, иначе всюду добавится ещё поверхностный интеграл по границе области.

Я для краткости буду писать $\partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}$ и $dV=d^3r$.
George M в сообщении #1566673 писал(а):
$$ \displaystyle  \int  d^{3}r (\vec{a}\cdot div(\vec{b})) = - \int   d^{3}r (b_{k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$
Нет. Дивергенция векторного поля даёт скалярное поле. Поскольку скалярное произведение определено для двух векторов, оно в левой части не имеет смысла. Там вектор $\vec{a}$ должен умножаться на скаляр $\operatorname{div}\vec{b}$ (что не обозначается точкой).
О той же ошибке сигнализируют и три одинаковых индекса $k$ в тензорной записи.
Правильно так:
$\int a_i\,\partial_k b_k\;dV = - \int  b_{k}\,\partial_k a_i \;dV$
$\int \vec{a}\,\operatorname{div}\vec{b}\;dV =- \int (\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}\;dV$
По поводу странной конструкции $(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}$ (производная $\vec{a}$ по направлению $\vec{b}$) см. справочник Корна по математике, пункт 5.5.2 «Оператор $\nabla$», стр. 171-172.

George M в сообщении #1566673 писал(а):
$$ \displaystyle  \int  d^{3}r (\vec{a}\cdot grad(f)) = - \int   d^{3}r (f \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$
Да. И тут скалярное произведение уже на месте.
$\int a_k\,\partial_k f\;dV = - \int  f \,\partial_k a_k\;dV$
$\int \vec{a}\cdot \operatorname{grad} f\;dV = - \int  f \,\operatorname{div}\vec{a}\;dV$

George M в сообщении #1566673 писал(а):
$$rot(\vec{b}) = \varepsilon_{ikl} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{k}}$$
В правой части индексы $k,l$ немые, а $i$ свободный. Тогда и в левой части должен быть свободный $i$, но его там нет. Кроме того, слева вектор, а справа набор компонент. Это можно исправить двумя способами ($\vec{e}_i$ — базисный вектор декартова базиса):
$\operatorname{rot}\vec{b} = \vec{e}_i\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l$
$(\operatorname{rot}\vec{b})_i = \varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l$
На последующее это не влияет.

$\int a_i\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l\;dV = -\int b_l\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k a_i \;dV =+\int b_l\,\varepsilon_{lki}\,\partial_k a_i \;dV$
$\int \vec{a}\cdot \operatorname{rot}\vec{b}\;dV = \int \vec{b}\cdot \operatorname{rot}\vec{a} \;dV$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование по частям в тензорных обозначениях
Сообщение14.10.2022, 03:54 


22/01/22
25
Большое спасибо за такое качественное и понятное объяснение, я всё вспомнил и во всем разобрался

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group