Актуальна ли теория возмущений?

[GAA]

(ozheredov)

ozheredov в сообщении #1566514 писал(а):

Может быть, примеры задач с ооочень медленно сходящимися рядами ==> применяем ТВ, и задача становится "послушной".

Задача ускорение сходимости рядов это как бы и не физика, и мне не видно как теория возмущений может быть использована. Если разговор о приближённом вычислении значения функции, например, при помощи разложения в асимптотический ряд (в частности, см. в книге Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т2 в §6 гл. XII рассматривается вычисление $\pi^2$ при помощи формулы Эйлера — Маклорена с точностью до $0.5\cdot 10^{-17}$) так это не сильно удивит. Когда не было компьютеров — это было очень полезно. Сейчас — это важно в очень редких случаях часто используемых функций, если другие подходы не годятся или ещё не предложены. А если требуется единичное вычисление, то использование арифметики переменной точности (или высокой точности) проблему во многих случаях решает. Да, вычисления будут медленны, но разработка алгоритма может потребовать больше времени. (Естественно, если сам ряд возникает из физической задачи и для вычисления каждого слагаемого требуются очень длительные вычисления или экспериментальные данные, то это другое дело.)

ozheredov в сообщении #1566514 писал(а):

Я ожидал достаточно простых и ярких (без 240-мерного пространства) примеров с неустойчивостью (когда траектории, выпущенные из двух начальных условий, совпадающие друг с другом с точностью, скажем, 100 знаков после запятой, за разумное время интегрирования разлетаются так, что одна перестает быть похожей на другую -- а ля динамический хаос). А потом мы применяем ТВ -- и задача становится совершенно другой, устойчивой.

А как это возможно? Не могли бы привести пример? Заинтриговали.

Вообще, раньше на физических факультетах (математические — отдельная песня) вскользь о теории возмущений говорилось в курсе теоретической механики, но опять без деталей. В качестве примитивных примеров ссылались на нелинейные колебания и рекомендовали [по асимптотическим методам в теории колебаний]
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). — М.: Наука, 1974.
(Кому-то и на первом курсе в дисциплине Механика немного рассказывали о простейшем ангармоническом осцилляторе. Это я на случай всяких уточнений и поправок)

Методы теории возмущений немного подробней и с примерами рассказывали в дисциплине Квантовая механика или в спецкурсе с названием Качественные методы в физике (или что-то подобное). Я вспомнил книгу
Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.
В книге есть гл. 2 «Различные случаи теории возмущений».

Если абстрагироваться от противопоставления «теории возмущений и программ», то какие бы поучительные простые примеры можно привести (так, чтобы эти примеры можно было на семинарских занятиях рассмотреть в различных курсах, например, теоретической механики)? Такие примеры, чтобы за 2-8 часов можно было понять и посчитать. Понятно, что для дисциплин типа квантовая физика (квантовая механика, квантовая электродинамика…) таких примеров привести достаточно легко. А что на занятиях, например, по теормеху?
Раньше о методе возмущений можно было посмотреть в книге
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984.
Но там примеров и задач не очень много. И вообще как учебник не очень вроде подходит.
[Т.е. до КАМ (т.е. где-то до середины 60-x) было много вопросов с методом возмущений. Теперь, в первом приближении на взгляд дилетанта, это в основном методические/дидактические/прикладные моменты, но почему бы и не поделиться своими находками или ссылками на такие публикации (с подробным изложением).]

[SomePupil]

Alex-Yu в сообщении #1566485 писал(а):

P.P.S. На досуге подумайте, как вы будете (если сумеете ) численно решать дифференциальное уравнение в частных производных в пространстве размерностью ${240}$. Пусть даже на самом крутом компьютере из существующих. Если взять сетку всего лишь 100 узлов на координату, то всего узлов сетки будет $10^{480}$. Для справки: это всего лишь уравнение Шредингера для скромного одиночного атома ртути. Даже не вступившего еще в какие-либо химические взаимодействия. И еще для справки: число элементарынх частиц во всей вселенной всего лишь порядка $10^{80}$.

Сорян за возможный некропост, но зачем гнать на компе честного Шредингера? Бедный комп же загнется такое считать. Тем более, что есть как минимум Томас-Ферми с хорошими поправками, а также теория функционала плотности. При таком подходе с существующими мощностями вполне можно считать даже большие молекулы. Для народного хозяйства хватает. Полного Шредингера можно запустить разве что для водорода, да и то в спортивных целях.