2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Присоединенная масса
Сообщение12.10.2022, 13:37 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Когда тело движется, жидкость также приходит в движение и, следовательно, обладает кинетической энергией. При прямолинейном движении эта величина не зависит от скорости тела и определяется соотношением соотношением $E_k = \frac{(m + \mu) v^2}{2}$, где $E_k$ - кинетическая энергия жидкости и тела, $m$ - масса движущегося тела, $v$ - скорость тела. В этой части задачи нам необходимо найти присоединенную массу шара радиуса $R$, движущегося в жидкости с плотностью $\rho$.

Уверен, задача относительно легко решается в рамках гидродинамики, однако школьнику на олимпиаде нужно использовать хитрую аналогию для того чтобы успешно решить задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение17.10.2022, 04:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10794
Crna Gora
Вкратце гидродинамическое решение.

Пусть шар движется со скоростью $\mathbf v$ в направлении $Oz$, и в момент $t$ его центр совпадает с началом координат. Рассмотрим поле скоростей жидкости $\mathbf u(\mathbf r)$ в этот же момент.
Течение безвихревое, $\operatorname{rot}\mathbf u=0$, откуда $\mathbf u=-\operatorname{grad}\psi$. Жидкость несжимаема, $\operatorname{div}\mathbf u=0$, значит, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\psi=0$.

На поверхности шара нормальная компонента $u_r=v_r$, где $u_r=-\frac{\partial\psi}{\partial r},\;v_r=v\cos\theta$. Так зависит от угловых координат только сферическая гармоника $P_1(\cos\theta)$, остальные в силу ортогональности отсутствуют. Ей соответствует частное решение $\psi=(Ar+Br^{-2})\cos\theta$. С учётом убывания $\mathbf u$ на бесконечности $A=0$. Коэффициент $B$ находится из того же условия $u_r=v_r$, в итоге $\psi=\frac {R^3v}{2}\,r^{-2}\cos\theta$.

Кинетическая энергия жидкости
$\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}\mathbf u^2\;dV=\frac{\rho}2\int\limits_{r\geqslant R}(\operatorname{grad}\psi)^2\;dV=-\frac{\rho}2\int\limits_{r=R}\psi\frac{\partial\psi}{\partial r}\;dS=\frac{\mu v^2}{2}$,
где $\mu=\frac 2 3\pi R^3\rho$. Применена интегральная теорема (первая формула Грина), упрощающая интегрирование.

Но что делать школьнику? :|
Хорошо, $\psi$ можно сопоставить с электростатическим потенциалом диполя с дипольным моментом $\frac {R^3v}{2}\mathbf e_z$ (поскольку электрическое поле без зарядов "течёт", как идеальная несжимаемая жидкость, неразрывно и без завихрений). Тогда $\mathbf u$ сопоставляется с электрическим полем этого диполя. Кинетической энергии жидкости будет соответствовать энергия поля вне шара с каким-то коэффициентом.
Допустим, "дипольность" можно обосновать наличием выделенного направления и осесимметричностью. Но из каких соображений можно получить дипольный момент, например? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение17.10.2022, 22:00 
Аватара пользователя


12/02/20
282
svv да, и вы очень близки к тому что предлагали авторы

Они предлагали переместиться в систему отсчета связанную с телом. В таком случае, поле скоростей аналогично (с точностью до знака) линиям магнитного поля вокруг сверхпроводника во внешнем однородном поле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение18.10.2022, 07:34 
Заслуженный участник


28/12/12
7796
profilescit в сообщении #1566984 писал(а):
В таком случае, поле скоростей аналогично (с точностью до знака) линиям магнитного поля вокруг сверхпроводника во внешнем однородном поле.

Как-то мне сомнительно, что такая задача для школьников хоть сколько-нибудь проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение18.10.2022, 09:27 
Аватара пользователя


12/02/20
282
DimaM задача взята с одного из отборочных этапов команды РФ на межнар по физике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение18.10.2022, 09:31 
Заслуженный участник


28/12/12
7796
profilescit в сообщении #1567024 писал(а):
задача взята с одного из отборочных этапов команды РФ на межнар по физике

Это замечание ортогонально моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение18.10.2022, 19:17 
Аватара пользователя


08/10/09
881
Херсон
У меня вопрос другой: Сколько школьников "решило" эту задачу? А если еще и пару их решений приведете....P.S. я просто хорошо знаком с этим эффектом of added mass как в гидродинамике так и в квантовой теории твердого тела...и всегда считал эту тему уделом строгих регулярных (вузовских) методов

 Профиль  
                  
 
 Re: Присоединенная масса
Сообщение19.10.2022, 15:52 
Аватара пользователя


12/02/20
282
DimaM я имел в виду что эти школьники обладают всем необходимым набором знаний для решения задачи. Возможно стоило дать полный текст задачи, там в подпунктах авторы намекали на данную аналогию

reterty к сожалению отсутствует статистика по этой задачи, но могу привести пример моих учеников которым я предложил эту задачу. Из троих, один решил ее полностью а другие частично. Но опять же, это школьники которые целенаправлено готовятся к межнару

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group