2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 20:20 


24/03/09
505
Минск
Континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества, с промежуточной мощностью между счётным бесконечным множеством и мощностью континуума. Т.е. большее чем счётное множество, и меньшее чем мощность континуума.
И якобы, это утверждение недоказуемо.

Я ничего не понял:
1) ну так если бы уже построили такое множество, значит тем самым доказали бы, что континуум-гипотеза неверна,
2) значит построить не могут. Но и с другой стороны не могут доказать, что такого множества в принципе не существует - иначе доказали бы гипотезу, а она как известно, недоказуема. Т.е. были доказательства недоказуемости гипотезы, и были доказательства недоказуемости отрицания гипотезы.

Какой тогда эта гипотеза может иметь практический смысл?
Ну допустим, я отрицаю гипотезу и утверждаю, что она неверна. Вот, говорю я , есть такое множество с промежуточной мощностью, между мощностями бесконечного счетного множества и мощностью множества континуума.

И какой толк от этого высказывания, если я не могу такое множество построить? Аналогично, как если утверждать "Бог существует", если это недоказуемо - остаётся принять или не принять на веру.

Или всё таки есть какой то практический смысл, и таким множеством можно как то пользоваться?

Спасибо, кто прояснит,

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8191
Цюрих
Большая часть аксиом теории множеств просто постулируют существование каких-то множеств. В чем важность "построения"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 20:53 


22/10/20
1005
Skipper в сообщении #1566350 писал(а):
И якобы, это утверждение недоказуемо.
Недоказуемо средствами $ZFC$. Мне не кажется, что $ZFC$ - это конец истории.
Skipper в сообщении #1566350 писал(а):
Или всё таки есть какой то практический смысл, и таким множеством можно как то пользоваться?
От нее зависят некоторые утверждения, которые на первый взгляд могут показаться практическими. Из тех, что понравились мне: вот это и вот это.

Лично мне кажется, что на вопрос "существует ли множество промежуточной мощности" есть однозначный ответ "да" или "нет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 21:03 


24/03/09
505
Минск
mihaild в сообщении #1566351 писал(а):
Большая часть аксиом теории множеств просто постулируют существование каких-то множеств. В чем важность "построения"?


Важность, чтобы хорошо понимать, представлять, что из себя представляет такое множество.
Вот 1) хорошо понимаю, бесконечное счётное множество,
2) хорошо понятно, множество с мощностью континуума,

И помогло для понимания - его построение, например для первого - множество всех рациональных чисел, или всех конечных алгоритмов, т.е. с конечной длиной их описания, также, для второго - как множество всех вещественных чисел.

Поэтому чтобы понять хорошо, что представляет собой множество промежуточной мощности (между бесконечным счётным и континуальным), и желательно его построить (как бы описать его элементы), а не просто сказать "вот существует, и хотите верьте, хотите нет"..

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 21:13 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
EminentVictorians в сообщении #1566353 писал(а):
Из тех, что понравились мне: вот это и вот это.
Относительно записи в ЖЖ вы ссылаетесь на неё саму или какой-то комментарий в обсуждении? Браузер открывает саму запись, но ссылка выглядит так, как будто ведёт в обсуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 21:19 


22/10/20
1005
Aritaborian в сообщении #1566355 писал(а):
Относительно записи в ЖЖ вы ссылаетесь на неё саму или какой-то комментарий в обсуждении?
Там все прекрасно)) И пост, и обсуждение. Процент содержательных комментариев довольно большой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4510
Skipper в сообщении #1566354 писал(а):
Поэтому чтобы понять хорошо, что представляет собой множество промежуточной мощности (между бесконечным счётным и континуальным), и желательно его построить (как бы описать его элементы), а не просто сказать "вот существует, и хотите верьте, хотите нет"..
Построить такое множество средствами ZFC нельзя. Это доказано.
Но и доказать, что его не существует - т.е. что его существование противоречит каким-либо аксиомам ZFC - тоже нельзя. И это тоже доказано.
Искать в гипотезах и утверждениях чистой математики практический смысл не стоит, он не обязан там содержаться.

На первый взгляд кажется, что раз построить множество промежуточной мощности невозможно, то и стоит принять, что его не существует.
Но тут есть такой момент. Если множества промежуточной мощности не существует, то это значит, что существует биекция между множеством $\aleph_1$ не более чем счётных ординалов и множеством $\mathbb{R}$ вещественных чисел. При этом, построить такую биекцию средствами ZFC невозможно.

Таким образом, оба утверждения - и гипотеза континуума, и её отрицание - предполагают существование объекта, который принципиально невозможно построить и "понять, что он из себя представляет". В первом случае это биекция между $\aleph_1$ и $\mathbb{R}$, во втором случае это множество промежуточной мощности.

Вообще, в математике много объектов, недоступных для построения, но по-своему любопытных. Например, базис Гамеля множества $\mathbb{R}$, рассматриваемого как бесконечномерное линейное пространство над полем $\mathbb{Q}$ - забавная штука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 22:04 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Искать в гипотезах и утверждениях чистой математики практический смысл не стоит, он не обязан там содержаться

Цитата:
Таким образом, оба утверждения - и гипотеза континуума, и её отрицание - предполагают существование объекта, который принципиально невозможно построить и "понять, что он из себя представляет"


А может быть и такое, что от принятия или отрицания этой гипотезы континуума, зависят какие нибудь, простые для понимания утверждения.
Например, будет выведено, что если континуум гипотеза истинна, тогда существует бесконечное количество пар простых чисел-близнецов (т.е. с разностью в $2$, например $11$, $13$, или $101$, $103$). (допустим, и в рамках арифметической аксиоматики, будет доказана недоказуемость этого утверждения).
Ну а если принять отрицание континуум-гипотезы, тогда нам нужно поверить, или принять как аксиому, что количество пар простых чисел-близнецов - лишь конечно.

Как тогда быть, человеческая цивилизация никогда не решит для себя этот вопрос однозначно и он останется навсегда - делом веры? Хочешь верь, хочешь не верь, каждый по своему прав, и никто не докажет и не найдет однозначного ответа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8191
Цюрих
А верно ли, что все последовательности Гудстейна конечны? Чем гипотеза континуума так уж отличается от остального ZF?
Skipper в сообщении #1566354 писал(а):
для второго - как множество всех вещественных чисел
А это еще что за зверь? Для него нужно в конечном итоге множество всех подмножеств натуральных чисел, что я бы довольно условно назвал "построением".

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 22:31 


24/03/09
505
Минск
mihaild в сообщении #1566362 писал(а):
А верно ли, что все последовательности Гудстейна конечны? Чем гипотеза континуума так уж отличается от остального ZF?
Skipper в сообщении #1566354 писал(а):
для второго - как множество всех вещественных чисел
А это еще что за зверь? Для него нужно в конечном итоге множество всех подмножеств натуральных чисел, что я бы довольно условно назвал "построением".


множество всех подмножеств натуральных чисел, вроде как понятно - берём единицу, и строит подмножества длиной в два,

${1, 2}$
${1, 3}$
${1, 4}$
...

затем берём двойку,

${2, 1}$ - можно вычеркнуть, если требуется упорядоченное множество, а можно не вычёркивать,
${2, 3}$
${2, 4}$
...

и так далее, мы построим множества всех подмножеств, длиной в два, натуральных чисел. Какова у него мощность?

Далее расширяем это множество, и добавляем к нему множество всех подмножеств, длиной в три,

${1, 2, 3}$
${1, 2, 4}$
${1, 2, 5}$
...

${1, 3, 4}$
${1, 3, 5}$
${1, 3, 6}$
...

и так далее,

${2, 3, 4}$
${2, 3, 5}$
${2, 3, 6}$
...

Вроде, вполне представимые правила построения.
А вот как построить представимое множество с мощностью больше чем у бесконечного счётного, и меньше чем у континуума,
это и хотелось бы понять,

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8191
Цюрих
Skipper в сообщении #1566368 писал(а):
Вроде, вполне представимые правила построения.
Это вы построили все конечные подмножества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение09.10.2022, 23:18 


18/09/21
1667
Skipper в сообщении #1566361 писал(а):
Как тогда быть, человеческая цивилизация никогда не решит для себя этот вопрос однозначно и он останется навсегда - делом веры?
Ну это если исходить из идеалистических (в философском смысле) предпосылок, что существуют идеалные математические объекты сами по себе. Что-то вроде Платоновских "идей".

Современная математика строится на другом базисе.
Вот выбрана какая-то логика (логики тоже бывают разные). Выбран набор аксиом. И далее устонавливается, что какие-то утверждения следуют из этого набора аксиом в выбранной логике. Ну или как здесь, устонавливается, что в данной связке логика-аксиомы данное утверждение недоказуемо. Какой-то дополнительный сверх-смысл сюда вкладывать не следует.
Может в другой аксиоматике подобное утверждение можно будет доказать.
А "ценность" или "интересность" аксиоматики - это уже отдельный вопрос. Интересна ли она для каких-то прикладных задач или имеет какую-то теоретическую ценность.
Вот ZFC имеет обширную полезность для прикладных задач. Да и теория на ней строится тоже в огромном объёме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение10.10.2022, 00:54 
Заслуженный участник


02/08/11
6816
zykov в сообщении #1566373 писал(а):
Современная математика строится на другом базисе.
Спорное утверждение. Тут как раз ссылку приводили на ЖЖ, где и это тоже обсуждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение10.10.2022, 13:08 


22/10/20
1005
zykov в сообщении #1566373 писал(а):
Вот ZFC имеет обширную полезность для прикладных задач.
Можно какой-нибудь пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум-гипотеза: как понять?
Сообщение11.10.2022, 08:02 


24/03/09
505
Минск
mihaild в сообщении #1566370 писал(а):
Skipper в сообщении #1566368 писал(а):
Вроде, вполне представимые правила построения.
Это вы построили все конечные подмножества.


Почему только конечные? В данной последовательности подмножеств, мы можем продолжать до бесконечной длины построение, значит и бесконечные войдут?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group