Поэтому чтобы понять хорошо, что представляет собой множество промежуточной мощности (между бесконечным счётным и континуальным), и желательно его построить (как бы описать его элементы), а не просто сказать "вот существует, и хотите верьте, хотите нет"..
Построить такое множество средствами ZFC нельзя. Это доказано.
Но и доказать, что его не существует - т.е. что его существование противоречит каким-либо аксиомам ZFC - тоже нельзя. И это тоже доказано.
Искать в гипотезах и утверждениях чистой математики практический смысл не стоит, он не обязан там содержаться.
На первый взгляд кажется, что раз построить множество промежуточной мощности невозможно, то и стоит принять, что его не существует.
Но тут есть такой момент. Если множества промежуточной мощности не существует, то это значит, что существует биекция между множеством
![$\aleph_1$ $\aleph_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/a/0ca3307287d71652e953213a13f64d6082.png)
не более чем счётных ординалов и множеством
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
вещественных чисел. При этом, построить такую биекцию средствами ZFC невозможно.
Таким образом, оба утверждения - и гипотеза континуума, и её отрицание - предполагают существование объекта, который принципиально невозможно построить и "понять, что он из себя представляет". В первом случае это биекция между
![$\aleph_1$ $\aleph_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/a/0ca3307287d71652e953213a13f64d6082.png)
и
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, во втором случае это множество промежуточной мощности.
Вообще, в математике много объектов, недоступных для построения, но по-своему любопытных. Например, базис Гамеля множества
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, рассматриваемого как бесконечномерное линейное пространство над полем
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
- забавная штука.