Континуум-гипотеза: как понять?

[Skipper]

Континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества, с промежуточной мощностью между счётным бесконечным множеством и мощностью континуума. Т.е. большее чем счётное множество, и меньшее чем мощность континуума.
И якобы, это утверждение недоказуемо.

Я ничего не понял:
1) ну так если бы уже построили такое множество, значит тем самым доказали бы, что континуум-гипотеза неверна,
2) значит построить не могут. Но и с другой стороны не могут доказать, что такого множества в принципе не существует - иначе доказали бы гипотезу, а она как известно, недоказуема. Т.е. были доказательства недоказуемости гипотезы, и были доказательства недоказуемости отрицания гипотезы.

Какой тогда эта гипотеза может иметь практический смысл?
Ну допустим, я отрицаю гипотезу и утверждаю, что она неверна. Вот, говорю я , есть такое множество с промежуточной мощностью, между мощностями бесконечного счетного множества и мощностью множества континуума.

И какой толк от этого высказывания, если я не могу такое множество построить? Аналогично, как если утверждать "Бог существует", если это недоказуемо - остаётся принять или не принять на веру.

Или всё таки есть какой то практический смысл, и таким множеством можно как то пользоваться?

Спасибо, кто прояснит,

[mihaild]

Большая часть аксиом теории множеств просто постулируют существование каких-то множеств. В чем важность "построения"?

[EminentVictorians]

Skipper в сообщении #1566350 писал(а):

И якобы, это утверждение недоказуемо.

Недоказуемо средствами $ZFC$. Мне не кажется, что $ZFC$ - это конец истории.

Skipper в сообщении #1566350 писал(а):

Или всё таки есть какой то практический смысл, и таким множеством можно как то пользоваться?

От нее зависят некоторые утверждения, которые на первый взгляд могут показаться практическими. Из тех, что понравились мне: вот это и вот это.

Лично мне кажется, что на вопрос "существует ли множество промежуточной мощности" есть однозначный ответ "да" или "нет".

[Skipper]

mihaild в сообщении #1566351 писал(а):

Большая часть аксиом теории множеств просто постулируют существование каких-то множеств. В чем важность "построения"?

Важность, чтобы хорошо понимать, представлять, что из себя представляет такое множество.
Вот 1) хорошо понимаю, бесконечное счётное множество,
2) хорошо понятно, множество с мощностью континуума,

И помогло для понимания - его построение, например для первого - множество всех рациональных чисел, или всех конечных алгоритмов, т.е. с конечной длиной их описания, также, для второго - как множество всех вещественных чисел.

Поэтому чтобы понять хорошо, что представляет собой множество промежуточной мощности (между бесконечным счётным и континуальным), и желательно его построить (как бы описать его элементы), а не просто сказать "вот существует, и хотите верьте, хотите нет"..

[Aritaborian]

EminentVictorians в сообщении #1566353 писал(а):

Из тех, что понравились мне: вот это и вот это.

Относительно записи в ЖЖ вы ссылаетесь на неё саму или какой-то комментарий в обсуждении? Браузер открывает саму запись, но ссылка выглядит так, как будто ведёт в обсуждение.

[EminentVictorians]

Aritaborian в сообщении #1566355 писал(а):

Относительно записи в ЖЖ вы ссылаетесь на неё саму или какой-то комментарий в обсуждении?

Там все прекрасно)) И пост, и обсуждение. Процент содержательных комментариев довольно большой.

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1566354 писал(а):

Поэтому чтобы понять хорошо, что представляет собой множество промежуточной мощности (между бесконечным счётным и континуальным), и желательно его построить (как бы описать его элементы), а не просто сказать "вот существует, и хотите верьте, хотите нет"..

Построить такое множество средствами ZFC нельзя. Это доказано.
Но и доказать, что его не существует - т.е. что его существование противоречит каким-либо аксиомам ZFC - тоже нельзя. И это тоже доказано.
Искать в гипотезах и утверждениях чистой математики практический смысл не стоит, он не обязан там содержаться.

На первый взгляд кажется, что раз построить множество промежуточной мощности невозможно, то и стоит принять, что его не существует.
Но тут есть такой момент. Если множества промежуточной мощности не существует, то это значит, что существует биекция между множеством $\aleph_1$ не более чем счётных ординалов и множеством $\mathbb{R}$ вещественных чисел. При этом, построить такую биекцию средствами ZFC невозможно.

Таким образом, оба утверждения - и гипотеза континуума, и её отрицание - предполагают существование объекта, который принципиально невозможно построить и "понять, что он из себя представляет". В первом случае это биекция между $\aleph_1$ и $\mathbb{R}$, во втором случае это множество промежуточной мощности.

Вообще, в математике много объектов, недоступных для построения, но по-своему любопытных. Например, базис Гамеля множества $\mathbb{R}$, рассматриваемого как бесконечномерное линейное пространство над полем $\mathbb{Q}$ - забавная штука.

[Skipper]

Цитата:

Искать в гипотезах и утверждениях чистой математики практический смысл не стоит, он не обязан там содержаться

Цитата:

Таким образом, оба утверждения - и гипотеза континуума, и её отрицание - предполагают существование объекта, который принципиально невозможно построить и "понять, что он из себя представляет"

А может быть и такое, что от принятия или отрицания этой гипотезы континуума, зависят какие нибудь, простые для понимания утверждения.
Например, будет выведено, что если континуум гипотеза истинна, тогда существует бесконечное количество пар простых чисел-близнецов (т.е. с разностью в $2$, например $11$, $13$, или $101$, $103$). (допустим, и в рамках арифметической аксиоматики, будет доказана недоказуемость этого утверждения).
Ну а если принять отрицание континуум-гипотезы, тогда нам нужно поверить, или принять как аксиому, что количество пар простых чисел-близнецов - лишь конечно.

Как тогда быть, человеческая цивилизация никогда не решит для себя этот вопрос однозначно и он останется навсегда - делом веры? Хочешь верь, хочешь не верь, каждый по своему прав, и никто не докажет и не найдет однозначного ответа?

[mihaild]

А верно ли, что все последовательности Гудстейна конечны? Чем гипотеза континуума так уж отличается от остального ZF?

Skipper в сообщении #1566354 писал(а):

для второго - как множество всех вещественных чисел

А это еще что за зверь? Для него нужно в конечном итоге множество всех подмножеств натуральных чисел, что я бы довольно условно назвал "построением".

[Skipper]

mihaild в сообщении #1566362 писал(а):

А верно ли, что все последовательности Гудстейна конечны? Чем гипотеза континуума так уж отличается от остального ZF?

Skipper в сообщении #1566354 писал(а):

для второго - как множество всех вещественных чисел

А это еще что за зверь? Для него нужно в конечном итоге множество всех подмножеств натуральных чисел, что я бы довольно условно назвал "построением".

множество всех подмножеств натуральных чисел, вроде как понятно - берём единицу, и строит подмножества длиной в два,

${1, 2}$
${1, 3}$
${1, 4}$
...

затем берём двойку,

${2, 1}$ - можно вычеркнуть, если требуется упорядоченное множество, а можно не вычёркивать,
${2, 3}$
${2, 4}$
...

и так далее, мы построим множества всех подмножеств, длиной в два, натуральных чисел. Какова у него мощность?

Далее расширяем это множество, и добавляем к нему множество всех подмножеств, длиной в три,

${1, 2, 3}$
${1, 2, 4}$
${1, 2, 5}$
...

${1, 3, 4}$
${1, 3, 5}$
${1, 3, 6}$
...

и так далее,

${2, 3, 4}$
${2, 3, 5}$
${2, 3, 6}$
...

Вроде, вполне представимые правила построения.
А вот как построить представимое множество с мощностью больше чем у бесконечного счётного, и меньше чем у континуума,
это и хотелось бы понять,

[mihaild]

Skipper в сообщении #1566368 писал(а):

Вроде, вполне представимые правила построения.

Это вы построили все конечные подмножества.

[zykov]

Skipper в сообщении #1566361 писал(а):

Как тогда быть, человеческая цивилизация никогда не решит для себя этот вопрос однозначно и он останется навсегда - делом веры?

Ну это если исходить из идеалистических (в философском смысле) предпосылок, что существуют идеалные математические объекты сами по себе. Что-то вроде Платоновских "идей".

Современная математика строится на другом базисе.
Вот выбрана какая-то логика (логики тоже бывают разные). Выбран набор аксиом. И далее устонавливается, что какие-то утверждения следуют из этого набора аксиом в выбранной логике. Ну или как здесь, устонавливается, что в данной связке логика-аксиомы данное утверждение недоказуемо. Какой-то дополнительный сверх-смысл сюда вкладывать не следует.
Может в другой аксиоматике подобное утверждение можно будет доказать.
А "ценность" или "интересность" аксиоматики - это уже отдельный вопрос. Интересна ли она для каких-то прикладных задач или имеет какую-то теоретическую ценность.
Вот ZFC имеет обширную полезность для прикладных задач. Да и теория на ней строится тоже в огромном объёме.

[warlock66613]

zykov в сообщении #1566373 писал(а):

Современная математика строится на другом базисе.

Спорное утверждение. Тут как раз ссылку приводили на ЖЖ, где и это тоже обсуждается.

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1566373 писал(а):

Вот ZFC имеет обширную полезность для прикладных задач.

Можно какой-нибудь пример?

[Skipper]

mihaild в сообщении #1566370 писал(а):

Skipper в сообщении #1566368 писал(а):

Вроде, вполне представимые правила построения.

Это вы построили все конечные подмножества.

Почему только конечные? В данной последовательности подмножеств, мы можем продолжать до бесконечной длины построение, значит и бесконечные войдут?