2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 число x
Сообщение08.10.2022, 07:58 


02/09/10
76
Кантор выписал число x, n-ный десятичный знак после запятой которого равен n-ному десятичному знаку числа $\frac{1}{n}$. Получилось $x=0,0030061010030760050074060377...$ (см. A061480). Верно ли, что это число иррациональное?

 Профиль  
                  
 
 Re: число x
Сообщение08.10.2022, 17:59 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Выглядит верным, основная идея доказательства, - последить за периодичностью ноликов в записи $x$.
Пусть $b$ - основание системы счисления, $x_n=\lfloor x\cdot b^n\rfloor-b\cdot\lfloor x\cdot b^{n-1}\rfloor$ - $n$-ый знак после запятой в записи $x$. Если $x$ рационально, с какого-то момента его запись станет периодической: $\exists n_0,t\in\mathbb{N}:\,\forall m,n\in \mathbb{N},n>n_0\,\,x_{n+mt}=x_n$. Возьмем какое-нибудь $k\in\mathbb{N}:n=b^k>n_0$, очевидно $x_n=0$, а вместе с ним должны быть ноликами и все $x_{n+mt}$. Это возможно только при условии $$\left\{\frac{b^{b^k+mt-1}}{b^k+mt}\right\}<\frac1b,\forall m\in\mathbb{N}$$Но так не будет, достаточно аккуратно подобрать $m$ для контрпримера; например, для $m=\lfloor\frac{b^p}t\rfloor+1$ при достаточно большом $p$ (таком, чтоб еще слагаемое $b^k$ "переварить"), указанная дробная часть будет не то, что меньше $1/b$, а больше $1-1/b$.
Доказательство выглядит рабочим для всех натуральных $b\geqslant2$; конкретно для $b=2$, возможно, потребуется больше аккуратности, уж больно близки $2^p$ и $2^{p-1}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group