число x

[staric]

Кантор выписал число x, n-ный десятичный знак после запятой которого равен n-ному десятичному знаку числа $\frac{1}{n}$. Получилось $x=0,0030061010030760050074060377...$ (см. A061480). Верно ли, что это число иррациональное?

[waxtep]

Выглядит верным, основная идея доказательства, - последить за периодичностью ноликов в записи $x$.
Пусть $b$ - основание системы счисления, $x_n=\lfloor x\cdot b^n\rfloor-b\cdot\lfloor x\cdot b^{n-1}\rfloor$ - $n$-ый знак после запятой в записи $x$. Если $x$ рационально, с какого-то момента его запись станет периодической: $\exists n_0,t\in\mathbb{N}:\,\forall m,n\in \mathbb{N},n>n_0\,\,x_{n+mt}=x_n$. Возьмем какое-нибудь $k\in\mathbb{N}:n=b^k>n_0$, очевидно $x_n=0$, а вместе с ним должны быть ноликами и все $x_{n+mt}$. Это возможно только при условии

$$\left\{\frac{b^{b^k+mt-1}}{b^k+mt}\right\}<\frac1b,\forall m\in\mathbb{N}$$

Но так не будет, достаточно аккуратно подобрать $m$ для контрпримера; например, для $m=\lfloor\frac{b^p}t\rfloor+1$ при достаточно большом $p$ (таком, чтоб еще слагаемое $b^k$ "переварить"), указанная дробная часть будет не то, что меньше $1/b$, а больше $1-1/b$.
Доказательство выглядит рабочим для всех натуральных $b\geqslant2$; конкретно для $b=2$, возможно, потребуется больше аккуратности, уж больно близки $2^p$ и $2^{p-1}$