Противоречие. 2 заряда

[cema2643]

Здравствуйте! Абсолютно случайно обнаружил одно противоречие.

Есть два заряда на расстоянии x и -x от начала координат. Если посчитать силу их взаимодействия по закону Кулона, то получится один результат. Если считать силу через потенциальную энергию взаимодействия, то получится другой результат. В 2 раза больше. Где я допускаю ошибку в рассуждениях (скриншот ниже)?

Скриншот: https://pastenow.ru/59e623c28dc8827c7183185d030d8ac3

[talash]

Во втором действии 2x это же расстояние? Если его обозначить L. Потом продифференцировать по L. Потом заменить L на 2x, то получится одно и то же.

[cema2643]

talash в сообщении #1566108 писал(а):

Во втором действии 2x это же расстояние? Если его обозначить L. Потом продифференцировать по L. Потом заменить L на 2x, то получится одно и то же.

Да, если ввести обозначение, то проблем нет. Вопрос в том, почему если не вводить обозначение, то получается противоречие? Вроде, математически все последовательно и верно.

Кроме того, положим, что у нас на прямой добавился еще третий заряд. На расстоянии -2х от начала отсчета. Вот получите вы формулу для энергии взаимодействия W(x). А потом снова к каким-то новым обозначения для расстояний между зарядами переходить и по ним по отдельности каждое слагаемое дифференцировать? Ну это же неблагодарное дело. Должно быть так, что взял производную по иксу, и получил проекцию силы.

[zykov]

cema2643 в сообщении #1566113 писал(а):

Вроде, математически все последовательно и верно.

Нет, не верно.
Вот это $F_x=-\frac{dW_p}{dx}$ не верно.
Правильно $2F_x=-\frac{dW_p}{dx}$, т.к. две силы (действующие на две частицы) будут менять энергию.

[Doctor Boom]

cema2643 в сообщении #1566113 писал(а):

Да, если ввести обозначение, то проблем нет

Это по определению, вам надо брать производную по $dL$

cema2643 в сообщении #1566113 писал(а):

Кроме того, положим, что у нас на прямой добавился еще третий заряд. На расстоянии -2х от начала отсчета. Вот получите вы формулу для энергии взаимодействия W(x). А потом снова к каким-то новым обозначения для расстояний между зарядами переходить и по ним по отдельности каждое слагаемое дифференцировать?

Если вы это продифференцируете по иксу, с чего вы решите, что получите какую-то силу, действующую на заряд? Заряда три, на них действуют разные силы, а вы получите одно число, как быть Вы получите так называемую обобщенную силу, если вы наложите такую голономную связь на заряды

[svv]

Пусть $x_1$ и $x_2$ — координаты зарядов, $x_1>x_2$.
$\begin{array}{l}W=\dfrac{e^2}{x_1-x_2}\\[2ex]F_{1x}=-\dfrac{\partial W}{\partial x_1}=\dfrac{e^2}{(x_1-x_2)^2}\\[2ex]F_{2x}=-\dfrac{\partial W}{\partial x_2}=-\dfrac{e^2}{(x_1-x_2)^2}\end{array}$

[cema2643]

Всем спасибо за ответы. Ситуация прояснилась.